Лемма Фермá

Определение. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой её окрестности выполняется неравенство . Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой её окрестности выполняется неравенство . Точка , где функция имеет либо максимум, либо минимум, называется точкой экстремума данной функции.

Лемма Фермá (П. Ферма 1601 − 1665). (Необходимое условие экстремума функции). Если в точке экстремума функция дифференцируема, то . Иначе говоря, в точке экстремума функции её производная равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть, например, функция имеет максимум в точке . В таком случае при всех малых , а при всех малых . Если функция дифференцируема в точке , то существует . Переходя к пределу в полученных ранее неравенствах, видим, что одновременно и . Поэтому .