Правила дифференцирования.

1. Если существуют производные и , то

.

2. Если существуют производные и , то

.

В частности, если , то .

Упражнение. С помощью ММИ обобщить правила 1. и 2. на случай функций.

3. Если существуют производные и , причем , то

.

Доказательство правила 2. Так как , то ,
аналогично, . Поэтому
ввиду непрерывности в точке .

Упражнение. Дать словесную формулировку правил 1.−3.

4. (Производная сложной функции). Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке . В таком случае сложная функция дифференцируема в точке . При этом .

Доказательство. По условию и . Подставляя это выражение в первое равенство, получаем

.

Этим доказана и дифференцируемость в точке и формула .

Замечание. Можно считать, что в теореме 4 речь идёт о замене переменной . При этом , но , так как − только главная часть . Таким образом, запись дифференциала в виде в отличие от записи сохраняется и после замены переменной (инвариантна относительно замены переменной).

5. (Производная обратной функции). Если функция непрерывна и строго возрастает в окрестности точки , а в самой точке дифференцируема, причём , то обратная функция дифференцируема в точке . При этом .

Доказательство. Из условия следует, что обе функции непрерывны и строго возрастают в соответствующих окрестностях, т.е. могут стремиться к нулю (равняться нулю) только одновременно. Поэтому .

6. (Производная функции, заданной параметрическим способом). Если функции и непрерывны в окрестности точки и − строго монотонная функция, то в окрестности точки определена функция . Если, кроме того, функции дифференцируемы в точке , причём , то существует и .
Доказательство. В окрестности точки существует непрерывная и строго монотонная обратная функция . Поэтому можно выразить : . Применяя теоремы 4. и 5, получим .

Замечание. Так как , то иногда пишут .

Дата добавления: 2013-12-13