Теоремы о среднем значении

Теорема Рóлля (М. Ролль 1652 − 1719). Пусть − функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая во внутренних его точках (коротко, ). Пусть еще . Тогда внутри интервала существует точка такая, что .

Доказательство. По теореме Вейерштрасса рассматриваемая функция достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений. Если и наибольшее и наименьшее значения достигаются в концах отрезка, то , т.к. , следовательно, на интервале . Если же своего наибольшего (или наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке интервала , то − точка экстремума функции. В таком случае из леммы Ферма следует, что .

Теорема Лагрáнжа (Ж.Л. Лагранж 1736 − 1813). Пусть − функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая во внутренних его точках (т.е. ). Тогда внутри интервала существует точка такая, что (в другой записи:, т.е. приращение функции рано приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке интервала).

Замечание. Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда .

Теорема Коши (О. Коши 1789 −1857). Пусть даны две функции и при этом на интервале . Тогда внутри этого интервала существует точка такая, что .

Замечание. Теорема Лагранжа − частный случай теоремы Коши, когда . Отсюда следует, что нам достаточно доказать только теорему Коши.

Доказательство теоремы Коши. Введём вспомогательную функцию

.

Ясно, что и , так как . По теореме Ролля существует точка , . Но тогда . А так как по той же теореме Ролля (иначе обращалась бы в нуль), то . Ч. и т.д.

Дата добавления: 2013-12-13