Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Производные и дифференциалы старшего порядка




Рекуррентное определение: . Точно так же .

Пример 1.

.

Пример 2. ;

.

Мы видим, что формулы для второй и третьей производных произведения имеют ту же структуру, что и формулы для квадрата суммы, куба суммы.

Упражнение. Доказать с помощью ММИ, что формула для n-й производной произведения устроена так же, как биномиальная формула Ньютона: . Именно:

(правило Лейбница).

Так называемые биномиальные коэффициенты могут вычисляться постепенно с помощью “треугольника Паскаля”, где каждое из этих чисел равно сумме двух, стоящих над ним. Коэффициент может также быть вычислен сразу по формуле . (Б. Паскаль: 1623 − 1662) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 …………………………………… Треугольник Паскаля

. Если − независимая переменная, то

.

Замечание. Этим объясняется еще одно обозначение для производной второго порядка: (для производной n -го порядка − ).

Пусть снова . Произведём замену переменной (теперь уже − зависимая переменная). В этом случае

.

Таким образом, запись 2-го дифференциала не является инвариантной относительно замены независимой переменной (тем более, не инвариантна запись для
n -го дифференциала).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 400; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.