Свойства интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла

1˚. Следующие свойства являются следствиями критерия интегрируемости.

1. Если и , то .
2. Пусть . Если и , то .
3. Если , то для любых скаляров . Таким образом, представляет собой линейное пространство.
4. Если , то .
5. Если , то .

6*. Если , то .

Докажем, например, утверждения 1, 5 и 6.

Доказательство свойства 1. Для любого числа существует разбиение отрезка , такое что . Свойство 2 сумм Дарбу показывает, что при добавлении к точкам деления упомянутая сумма только уменьшится. Еще раз она уменьшится, если отбросить слагаемые, не относящиеся к отрезку . Поэтому .

Доказательство свойства 5. Обозначим и . Пусть . Существует разбиение , для которого и разбиение , для которого . Для разбиения будет одновременно и . Так как верно равенство

,

то . Поэтому .

Отсюда следует интегрируемость функции .

Доказательства свойства 6. Это свойство является следствием неравенств:

и критерия интегрируемости. Действительно, если , то

и т.д.

Дата добавления: 2013-12-13