Свойства определенного интеграла

1. Аддитивность интеграла как функции промежутка.

Пусть . Если , то

.
Доказательство. Согласно предельному определению и , где − разбиение отрезка , − разбиение отрезка , . Если , то =. Переходя в этом равенстве к пределу , получаем соотношение .

Замечание. Положим по определению , тогда оказывается, что формула остаётся верной при любых . Пусть, например, . Тогда будет

и снова верна формула .

2. Линейность интеграла. Если , а − скаляры, то

.

Доказательство. Так как для любого разбиения отрезка и , то требуемое соотношение получается с помощью предельного перехода .

3. Неотрицательность интеграла (монотонность, оценка интеграла).

а). Если , и , то .

Доказательство. Неравенство получается с помощь предельного перехода при условии из очевидного неравенства для сумм .

б). Если , и , то (монотонность интеграла). В частности, .

Доказательство. Так как , то .

в). Если и , то , где ,

(оценка интеграла).

Доказательство. Указанная оценка выводится из неравенства с помощью свойства монотонности.

Дата добавления: 2013-12-13