Интеграл с переменным верхним пределом

Связь определённого и неопределённого интегралов.

Теорема 1. Пусть . В таком случае на отрезке определена функция . Более того, .

Доказательство. Так как , то .

Замечание. Нами доказано более сильное утверждение: функция удовлетворяет условию Липшица.

Теорема 2. Пусть . В каждой точке , где непрерывна, функция дифференцируема. При этом , т.е. .

Доказательство. Пусть . Существует такое число , что

будет . В таком случае

, если . Следовательно, .

Замечание. . Действительно, .

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке , то у нее существует первообразная (это, например, − интеграл с переменным верхним пределом ).

Следствие 2. (Формула Ньютона - Лейбница). Если , то

,

где − любая первообразная функция .

Символ “” называется знаком двойной подстановки.

Доказательство. Пусть снова , и пусть − произвольная первообразная функция . В таком случае , следовательно,

.

Замечание. Доказанную формулу можно записать в виде: .

Эта связь между определенным и неопределенным интегралами объясняет, почему для обозначения неопределённого интеграла используется тот же символ .

Дата добавления: 2013-12-13