Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть и пусть . Тогда

.

Доказательство. В условиях теоремы 1., как мы знаем, .

Применяя формулу Ньютона - Лейбница с пределами к обоим неопределенным интегралам, получим требуемое равенство между определенными интегралами.

Теорема 2. Пусть . В таком случае

.

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей теоремы можно записать формулу интегрирования по частям для неопределённого интеграла и затем воспользоваться теоремой Ньютона – Лейбница.

Пример 1. Вывести рекуррентные формулы для интегралов и .

Решение. 1).Замена показывает, что .

2). .

Следовательно, и .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Пусть , тогда , .

Пересчитаем пределы интегрирования:

.

Отметим, что нам не пришлось возвращаться к первоначальной переменной.

Пример 3. Доказать формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:

если, то .

Доказательство. Обозначим . Интегрирование по частям даёт .

Суммируя эти равенства , , получаем .

Остается учесть, что .

Дата добавления: 2013-12-13