Абсолютная сходимость несобственных интегралов

Интегрируемость степенных особенностей.

Теорема. Интеграл , а интеграл .

Доказательство. .

Замена показывает, что .

Определение. Пусть . Несобственный интеграл
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится, причем . Обратное утверждение не верно.

Доказательство. Нужно воспользоваться критерием Коши и неравенствами

и , .

Рассмотрение контрпримера к теореме. Интегралы и сходятся, но не абсолютно. Действительно, , а так как , то , а вместе с ним и сходятся. Точно так же доказывается сходимость интеграла . Докажем теперь, что интегралы , и даже интегралы , расходятся. Но эти интегралы ведут себя одинаково, так как

, а , как было доказано, сходится. С другой стороны, сумма этих интегралов равна , следовательно, оба они расходятся.

Определение. Интегралы, которые сходятся, но не абсолютно, называются условно сходящимися.

Так, интегралы и условно сходятся.

Дата добавления: 2013-12-13