Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство теорем Абеля и Дирихле




Признаки Абеля и Дирихле.

Теорема Абеля.Пусть . Предположим, что интеграл сходится, а функция монотонна и ограниченна на отрезке . Тогда интеграл сходится.

Теорема Дирихле.Пусть . Предположим, что функция ограниченна на отрезе , а функция монотонна на этом отрезке и когда . В таком случае интеграл сходится.

1. Выведем сначала теорему Абеля из теоремы Дирихле.

Так как функция монотонна и ограниченна, существует предел . При этом , где монотонна и . Следовательно, по теореме Дирихле сходится. Но ,

поэтому сходится и интеграл .

2. Докажем теперь теорему Дирихле.

Имеем: . Докажем, что интеграл справа сходится (даже абсолютно). По условию существует . Поэтому

, так как производная сохраняет знак. Следовательно, , когда . Но тогда, согласно критерию Коши интеграл сходится. Ч. и т. д.

Добавление.В заключение параграфа докажем сходимость интегралов и с использованием полученных только что признаков. Так, например, пусть , а . Тогда , поэтому при всех , а монотонно убывает на промежутке и стремится к нулю . Таким образом, для интеграла выполнены условия признака Дирихле, следовательно, этот интеграл сходится.

§10. Некоторые приложения определённого интеграла





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 676; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.016 сек.