Доказательство теорем Абеля и Дирихле

Признаки Абеля и Дирихле.

Теорема Абеля. Пусть . Предположим, что интеграл сходится, а функция монотонна и ограниченна на отрезке . Тогда интеграл сходится.

Теорема Дирихле. Пусть . Предположим, что функция ограниченна на отрезе , а функция монотонна на этом отрезке и когда . В таком случае интеграл сходится.

1. Выведем сначала теорему Абеля из теоремы Дирихле.

Так как функция монотонна и ограниченна, существует предел . При этом , где монотонна и . Следовательно, по теореме Дирихле сходится. Но ,

поэтому сходится и интеграл .

2. Докажем теперь теорему Дирихле.

Имеем: . Докажем, что интеграл справа сходится (даже абсолютно). По условию существует . Поэтому

, так как производная сохраняет знак. Следовательно, , когда . Но тогда, согласно критерию Коши интеграл сходится. Ч. и т. д.

Добавление. В заключение параграфа докажем сходимость интегралов и с использованием полученных только что признаков. Так, например, пусть , а . Тогда , поэтому при всех , а монотонно убывает на промежутке и стремится к нулю . Таким образом, для интеграла выполнены условия признака Дирихле, следовательно, этот интеграл сходится.

§10. Некоторые приложения определённого интеграла

Дата добавления: 2013-12-13