Свойства длины

Длина дуги кривой.

Определение. Пусть − кривая, заданная параметрическими уравнениями:

Рассмотрим разбиение отрезка и обозначим точки кривой . Обозначим длину вписанной ломаной , т.е. .

Кривая называется спрямляемой, если конечна величина . В этом случае число называется длиной кривой .

1. Положительность.
2. Аддитивность.
3. Монотонность.
4. Длина кривой не меняется при монотонной замене параметра .

Теорема. Если , то кривая спрямляема и её длина равна

.
Доказательство.

1. Интеграл существует (свойство 6 интегрируемых функций).

2. Множество длин вписанных ломаных, соответствующих всевозможным разбиениям отрезка , ограничено в совокупности, так как

,

где . Следовательно, кривая спрямляема.

3. Рассмотрим сумму Неравенство

показывает, что

.

Поэтому . Ч. и т. д.

Замечание 1. Для пространственной кривой .

Замечание 2. Частный случай доказанной формулы. Для случая задания кривой с помощью явного уравнения , т.е. ,

Замечание 3. Еще один частный случай, когда кривая задана с помощью уравнения в полярной системе координат. В этом случае будем иметь .

Доказательство. Так как , то ,

следовательно, .

Заметим, что это − тоже “теорема Пифагора” .

Дата добавления: 2013-12-13