Площадь искривленной поверхности

Предположим, что поверхность задана явным уравнением , где , а − квадрируемая область, представляющая собой проекцию на плоскость .

Разобьём на квадрируемые подмножества и выберём в них по точке . Обозначим точку на поверхности , проецирующуюся . Рассмотрим касательную плоскость в точке и обозначим площадь части этой плоскости, проецирующейся .

Так как площадь , где − угол между касательной плоскостью и плоскостью , то . Действительно, величина равна третьему направляющему косинусу нормального вектора к поверхности в точке , лежащей над точкой .

Определение. Рассмотрим площадь “описанного многогранника” .

Если существует предел суммы при условии, что мелкость разбиения стремится к нулю, будем считать этот предел площадью поверхности . Ясно, что .

Пример. Найти площадь части параболоида вращения , отсекаемой плоскостью .

Решение. =.

Рассмотрим случай параметрического задания поверхности с помощью уравнения , . Мы будем называть криволинейными координатами на поверхности. Эти координаты называются ортогональными, если в каждой точке.

Рассмотрим криволинейный “параллелограмм”, заключённый между двумя парами бесконечно близких координатных линий и линий . С точностью до главных бесконечно малых его площадь равна . Поэтому , где − область изменения параметров .

Ясно, что . Поэтому

.

Рассмотрим матрицу Грама для векторов . Это значит , , . Так как , то . Поэтому

.

В частности, если криволинейные координаты на поверхности ортогональные, то и

.

Так, если − широта и долгота точки, то , , В этом случае площадь фигуры на сфере будет равна , где − область изменения координат .

Дата добавления: 2013-12-13