Понятие о несобственных кратных интегралах

Физические приложения кратных интегралов.

Массу тела можно найти по формуле , где объёмная плотность материала, массу пластины − по формуле (на этот раз − поверхностная плотность). Точно так же, заряд можно вычислить, интегрируя объёмную (поверхностную) плотность распределения заряда.

Центр масс: , здесь − снова масса тела .

Моменты инерции: , , и т.д.

Напряженность в точке гравитационного поля, создаваемого массой, распределённой с плотностью , равна , где − гравитационная постоянная. Потенциал гравитационного поля равен .

Аналогичные формулы справедливы, но со знаком “минус” и для напряженности и потенциала электростатического поля.

Пример. Доказать, что однородный шар притягивает материальную точку так, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре.

Решение. Если расположитьшар и точку так, как показано на рисунке, будет . Вычислим , считая, что .

. Сделаем во внутреннем интеграле следующую замену: . При этом будет , ; . , где − масса шара.

Мы не станем в этом параграфе углубляться в теорию, а рассмотрим лишь один пример: .

В этом случае можно дать определение сходимости интеграла по неограниченной области (по всей плоскости) разными способами. Например,

или .

Докажем, что оба эти предела существуют, конечны и равны между собой.

1. =.

Следовательно, .

2. Так как подынтегральная функция положительна, то интеграл возрастает с расширением области. Поэтому

.

3. Крайние члены этих неравенств имеют пределом число . По теореме о двух милиционерах средний член также стремится , то есть .

Покажем, как воспользоваться эти обстоятельством для вычисления интеграла Пуассона .

Имеем =.

Поэтому . Отметим, что для теории вероятностей и других дисциплин важным является следствие этой формулы .

Дата добавления: 2013-12-13