Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие о несобственных кратных интегралах





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Физические приложения кратных интегралов.

Массу тела можно найти по формуле , где объёмная плотность материала, массу пластины − по формуле (на этот раз − поверхностная плотность). Точно так же, заряд можно вычислить, интегрируя объёмную (поверхностную) плотность распределения заряда.

Центр масс: , здесь − снова масса тела .

Моменты инерции: , , и т.д.

Напряженность в точке гравитационного поля, создаваемого массой, распределённой с плотностью , равна , где − гравитационная постоянная. Потенциал гравитационного поля равен .

Аналогичные формулы справедливы, но со знаком “минус” и для напряженности и потенциала электростатического поля.

Пример.Доказать, что однородный шар притягивает материальную точку так, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре.

Решение.Если расположитьшар и точку так, как показано на рисунке, будет . Вычислим , считая, что .

. Сделаем во внутреннем интеграле следующую замену: . При этом будет , ; . , где − масса шара.

 

Мы не станем в этом параграфе углубляться в теорию, а рассмотрим лишь один пример: .

В этом случае можно дать определение сходимости интеграла по неограниченной области (по всей плоскости) разными способами. Например,

или .

Докажем, что оба эти предела существуют, конечны и равны между собой.

1. =.

Следовательно, .

2. Так как подынтегральная функция положительна, то интеграл возрастает с расширением области. Поэтому

.

  3. Крайние члены этих неравенств имеют пределом число . По теореме о двух милиционерах средний член также стремится , то есть .

Покажем, как воспользоваться эти обстоятельством для вычисления интеграла Пуассона .

Имеем =.

Поэтому . Отметим, что для теории вероятностей и других дисциплин важным является следствие этой формулы .





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 242; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.