Свойства сходящихся рядов

1. (Линейность суммы ряда). Пусть даны сходящиеся ряды и . В таком случае при любых ряд также сходится и его сумма равна .

Доказательство. Так как , то остаётся лишь перейти в этом равенстве к пределу .

2. Если в сходящемся ряде ввести парные скобки, то сумма ряда не изменится. Отбрасывать скобки, вообще говоря, нельзя.

Доказательство. Частичные суммы ряда равны . Так как подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел, что и у исходной последовательности, то суммы обоих рядов совпадают.

Контрпример. Ряд сходится и его сумма равна нулю, а ряд без скобок расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости.

3. Если произвести перестановку, затрагивающую конечное число членов ряда, то это не повлияет ни на сходимость, ни на сумму ряда. Это уже не верно для бесконечных перестановок членов ряда.

Доказательство. Пусть члены ряда с номерами при перестановке не изменились. Тогда все частичные суммы ряда с номерами также не изменились.

Контрпример. Рассмотрим ряд Лейбница . В одной из ближайших лекций будет доказано, что этот ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда. Рассмотрим
переставленный ряд . Легко доказать, что и этот ряд сходится. Сумма нового ряда равна

.

Замечание. Ещё Лейбницу было известно, что .

Дата добавления: 2013-12-13