Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

1˚. Если все члены ряда неотрицательны, то последовательность его частичных сумм неубывающая, следовательно, существует предел этой последовательности (конечный или бесконечный). Мы приходим к следующему выводу.

Предложение. Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

2˚. Теорема (Интегральный признак Коши). Пусть неотрицательная функция убывает на промежутке . Тогда ряд и несобственный интеграл оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости их остатки связаны неравенствами

.

Доказательство. Из условий теоремы следуют неравенства:

и ,

Пусть сначала известно, что сходится ряд и . Тогда

, а так как возрастает, то интеграл сходится.

Наоборот, если сходится интеграл, то , следовательно, ряд сходится.

Наконец, оценку остатка получим из соотношения с помощью предельного перехода .

Следствие. Ряды Дирихле сходятся и расходятся .

3˚. Теорема. (Признак сравнения). Рассмотрим рядыс положительными членамии .

а) если ряд мажорируется рядом (т.е. ) и ряд сходится, то ряд также сходится, при этом .

б) если , то ряды оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. У тверждение пункта а) сразу следует из неравенства .

б) Так как , то оба эти отношения ограничены, т.е. существует положительное число такое, что и , . Остаётся воспользоваться утверждением пункта а).

Дата добавления: 2013-12-13