КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сходимость степенных рядов. Действия со степенными рядами
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . (1) Первая теорема Абеля о степенных рядах. Если ряд (1) сходится , то он сходится при всех значениях , более близких к центру сходимости (т.е. сходится ). Доказательство. По условию ряд сходится. Согласно необходимому условию сходимости ряда, последовательность его членов стремится к нулю а, значит ограничена. Это означает, что существует большее, чем все величины , т.е. . Выберем произвольное положительное число . Для любого , для которого , справедливо неравенство , где . Признак сравнения показывает, что при любом таком значении ряд (1) сходится. Замечание. Мы доказали несколько больше: на отрезке ряд (1) мажорируется рядом . Следствие. Существует такое, что ряд (1) сходится и расходится . (Такое называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а промежуток − интервалом сходимости.) Доказательство. Теорема Абеля показывает, что таким числом является , где − область сходимости ряда (1), т.е. множество значений , при которых ряд сходится. Теорема. Если существует предел , то справедлива формула (здесь подразумевается, что и ). Доказательство. Внутри интервала сходимости степенной ряд абсолютно сходится, поэтому нам придётся исследовать ряд (1) на абсолютную сходимость. Применяем признак Даламбера. Так как , то ряд сходится, когда , и расходится, когда . Поэтому если . Доказательство упрощается в случае, когда . Замечание. В доказанной формуле предел можно заменить . Самый общий случай описывается формулой , где (формула Коши – Адамара). Пример. Найти область сходимости рядов 1) , 2) , 3) 4) .
Решение. Во всех четырёх случаях интервал сходимости это − , так как . В первом из примеров ряд расходится в обеих концевых точках этого интервала. Во втором − сходится в точках . В третьем примере ряд сходится только в левом конце, а в четвертом примере − только в правом. Следствие 1. При формальном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не изменяется. Теорема. Внутри интервала сходимости степенной ряд допускает почленное интегрирование и почленное дифференцирование. В частности, у суммы ряда есть производная и она равна сумме производных от членов ряда. Доказательство. Это утверждение является следствием того факта, что по теореме Абеля степенной ряд правильно сходится на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости, и теорем о почленном интегрировании и дифференцировании общих функциональных рядов. Следствие. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией. Теорема. Внутри общей части интервалов сходимости двух степенных рядов с одним и тем же центром сходимости их можно почленно складывать и можно перемножать как многочлен на многочлен. Вторая теорема Абеля о степенных рядах. Если степенной ряд сходится в конце интервала сходимости, то его сумма односторонне непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть, например, ряд сходится в точке , где − радиус сходимости степенного ряда и пусть . Тогда , где , . По условию теоремы ряд сходится, а так как это − ряд с постоянными членами, то он равномерно сходится. Что же касается , то при любом − монотонная последовательность и . По теореме Абеля из §4 рассматриваемый ряд равномерно сходится на отрезке . Теорема о непрерывности суммы ряда из §5 показывает, что функция непрерывна , в частности, эта функция непрерывна справа в точке .
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 656; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |