Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сходимость степенных рядов. Действия со степенными рядами





Определение. Степенным рядомназывается функциональный ряд вида

. (1)
Числа называются коэффициентами ряда (1), число центром сходимости.

Первая теорема Абеля о степенных рядах.Если ряд (1) сходится , то он сходится при всех значениях , более близких к центру сходимости (т.е. сходится ).

Доказательство.По условию ряд сходится. Согласно необходимому условию сходимости ряда, последовательность его членов стремится к нулю а, значит ограничена. Это означает, что существует большее, чем все величины , т.е. .

Выберем произвольное положительное число . Для любого , для которого , справедливо неравенство , где . Признак сравнения показывает, что при любом таком значении ряд (1) сходится.

Замечание. Мы доказали несколько больше: на отрезке ряд (1) мажорируется рядом .

Следствие.Существует такое, что ряд (1) сходится и расходится . (Такое называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а промежуток интервалом сходимости.)

Доказательство.Теорема Абеля показывает, что таким числом является ,где область сходимости ряда (1), т.е. множество значений , при которых ряд сходится.

Теорема.Если существует предел , то справедлива формула (здесь подразумевается, что и ).

Доказательство.Внутри интервала сходимости степенной ряд абсолютно сходится, поэтому нам придётся исследовать ряд (1) на абсолютную сходимость. Применяем признак Даламбера. Так как , то ряд сходится, когда , и расходится, когда . Поэтому если .

Доказательство упрощается в случае, когда .

Замечание.В доказанной формуле предел можно заменить . Самый общий случай описывается формулой , где (формула Коши – Адамара).

Пример.Найти область сходимости рядов 1) , 2) , 3) 4) .

Решение.Во всех четырёх случаях интервал сходимости это − , так как . В первом из примеров ряд расходится в обеих концевых точках этого интервала. Во втором − сходится в точках . В третьем примере ряд сходится только в левом конце, а в четвертом примере − только в правом.



Следствие 1.При формальном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не изменяется.

Теорема.Внутри интервала сходимости степенной ряд допускает почленное интегрирование и почленное дифференцирование. В частности, у суммы ряда есть производная и она равна сумме производных от членов ряда.

Доказательство.Это утверждение является следствием того факта, что по теореме Абеля степенной ряд правильно сходится на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости, и теорем о почленном интегрировании и дифференцировании общих функциональных рядов.

Следствие.Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией.

Теорема.Внутри общей части интервалов сходимости двух степенных рядов с одним и тем же центром сходимости их можно почленно складывать и можно перемножать как многочлен на многочлен.

Вторая теорема Абеля о степенных рядах.Если степенной ряд сходится в конце интервала сходимости, то его сумма односторонне непрерывна в этой точке.

Доказательство.Пусть, например, ряд сходится в точке , где − радиус сходимости степенного ряда и пусть . Тогда ,

где , . По условию теоремы ряд сходится, а так как это − ряд с постоянными членами, то он равномерно сходится. Что же касается , то при любом − монотонная последовательность и .

По теореме Абеля из §4 рассматриваемый ряд равномерно сходится на отрезке . Теорема о непрерывности суммы ряда из §5 показывает, что функция непрерывна , в частности, эта функция непрерывна справа в точке .





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 605; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. II. В зависимости от того соединяется ли наказание с иными мерами воспитательно-распорядительного воздействия
  2. II. Ключевые устройства на транзисторах и бесконтактные устройства релейного действия
  3. III. Объекты профилактического воздействия.
  4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
  5. Анализ волевого действия.
  6. Антропогенные воздействия на почву
  7. Антропогенные воздействия на почвы.
  8. Биологические воздействия
  9. Биологические особенности действия низких температур
  10. В играх, театрализациях,в рассказахо своих действиях.
  11. В настоящее время врачи говорят о шумовой болезни, развивающейся в результате воздействия шума с преимущественным поражением слуха и нервной системы.
  12. В работе «О категориях понимающей социологии» М. Вебер назвал предметом социологии «социальное действие». Какие типы социального действия выделял учёный (отметить не менее 3-х)?

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.022 сек.