Тригонометрические ряды Фурье

Некоторые приложения степенных рядов.

Пример 1. Вычислить суммы рядов(ряд Лейбница) и .

Решение.Если подставить в обе части разложений 6) и 7), то сразу же получим

.

Дополнение.Ряды из примера 1 непригодны для вычислений, они слишком медленно сходятся. Так, остаток ряда убывает со скоростью и для вычисления с точностью необходимо просуммировать 1000 членов ряда. Покажем на том же примере, что метод степенных рядов может давать отличные результаты, если алгоритм вычислений немного усовершенствовать. Снова обратимся к табличному разложению 6). Это даёт

,

.

Следовательно, . Замена приводит к тождеству . Здесь и если , то .

Поэтому . Этот ряд сходится гораздо быстрее.

Сейчас .

В частности, , а потому с точностью будет . Отбрасывая ненадёжные знаки, получаем . Для уменьшения погрешности вычислений нужно увеличить количество учитываемых членов ряда. Так, например, , поэтому с точностью .

Пример 2.Вычислить с точностью интеграл .

Решение.Так как , то .

Поэтому =.

Так как , то . Отбрасывая ненадёжные знаки, получаем с нужной точностью .

Пример 3.Найти приближенное решение уравнения вблизи .

Решение.Ясно, что .

Дифференцируя данное уравнение, получаем новое тождество: .

это даёт или .

Повторим это рассуждение еще несколько раз. Это даёт:

, или .

, или .

При желании можно было бы продолжать эти вычисления.

Если использовать найденные значения для построения начального отрезка ряда Тейлора, то приходим к приближенному выражению для функции в окрестности точки : .На следующем рисунке сравниваются график полученного приближенного решения с графиком точного решения .

 

1˚.Для понимания некоторых вопросов анализа целесообразно использование геометрической терминологии. Так, в математическом анализе приходится раскладывать функции по ортогональному базису. Подробнее об этом.

Напомним, что скалярное произведение в абстрактном линейном пространстве вводилось с помощью системы аксиом:

1. функция является билинейной формой, т.е. линейна и ;

2. функция симметрична, т. е. ;

3. функция является положительно определённой, т.е. , если .

Например, в пространстве скалярным произведением является выражение .

Векторы и называются ортогональными, если . Набор ненулевых векторов образует ортогональную систему, если все они попарно ортогональны.

Предположим теперь, что вектор требуется разложить по ортогональной системе, т.е. представить в виде . Спрашивается, чему равны коэффициенты разложения ? Если умножить обе части разложения скалярно на один из векторов системы, например, , получим или . Коэффициенты, вычисляемые по этой формуле, часто называют коэффициентами Фурье. Напомним ещё, что для ортогонального разложения справедлив следующий вариант теоремы Пифагора: .

2˚.В математическом анализе, в отличие от линейной алгебры, обычно приходится иметь дело с бесконечномерными пространствами. Но и здесь можно говорить о скалярном произведении, ортогональных системах, коэффициентах Фурье. Так, в линейном пространстве часто рассматривают интегральное скалярное произведение: (интеграл − вместо суммы). Ясно, что и здесь выполнены все аксиомы скалярного произведения.

Лемма.Классическая тригонометрическая система является ортогональной относительно введенного только что скалярного произведения. Скалярный квадрат функции , очевидно, равен , скалярный квадрат любой другой функции системы равен .

Доказательство.Прежде всего, ясно, что любая из системы ортогональна любой , в том числе − функции . Вычислим скалярные произведения одноимённых функций. Мы имеем :

 

Из доказанной леммы и формулы для коэффициентов Фурье следует, что разложение по тригонометрической системе для функции имеет вид:

,где , .

Ряд называется рядом Фурьефункции . Символ вместо ожидаемого знака равенства означает только то, что справа от него стоит ряд Фурье , т.е. не предполагается, что этот ряд сходится и, тем более, − что его сумма совпадаёт с .

Приведём без доказательства достаточные условия представимости функции её рядом Фурье.

Теорема 1.Пусть − функция, кусочно-гладкая на периоде. В таком случае ряд Фурье сходится при любом , а его сумма равна . В частности, если − точка непрерывности, то .

Теорема 2.Если в дополнение к условиям теоремы 1. − непрерывна, то её ряд Фурье правильно сходится, то есть мажорируется сходящимся числовым рядом.

Замечание.Мы видим, что технически ряды Фурье сложнее степенных рядов, зато область применения рядов Фурье гораздо шире. Так, в ряд Тейлора можно разложить далеко не всякую бесконечно дифференцируемую функцию, в то время как в ряд Фурье раскладываются многие разрывные функции.

Теорема Пифагора в этом случае приобретает вид

(равенство Парсеваля - Стеклова).

Если − четная функция, то, очевидно, . Если же − нечетная функция, то .