Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение дифференциала

Читайте также:
  1. II. Определение «целей» и «предметов» переговоров.
  2. III этап. Определение правовых отношений родителей и детей.
  3. X.1. Определение мышления.
  4. Аналитическое определение передаточного отношения.
  5. Аналитическое определение передаточного числа.
  6. Более 55 млн га ( 5,4 млн земельных долей ) передано в аренду с определением местоположения земель на местности.
  7. В.2. Определение производной функции
  8. В.3. Определение функции
  9. Важными условиями политического развития является правильное определение времени и основных этапов политических преобразований, а также их постепенность.
  10. Графическое определение передаточного отношения.
  11. Дайте определение процессу усреднения
  12. Дайте определение следующим понятиям



Пусть функция y = f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Î Х. Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин (БМВ) с пределами функций можно записать , где –БМВ при Dx®0.

Откуда .

Т.о. приращение функции Dy состоит из 2 слагаемых: 1) линейного относительно Dx; 2) нелинейного (которое является БМВ более высокого порядка малости, чем Dx)

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dx часть приращения функции, равная произведению производной данной функции на приращение независимой переменной

(1)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = Dx

(т.к. для функции у=х дифференциал будет равен: ).

Поэтому формулу (1) можно записать в виде (2)

=> (т.е. производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной).

Пример 9. Найти дифференциал функции у = 6х2 – 3.

Решение. Вычислим производную данной функции у¢ = 12х и подставим в формулу (2): .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение Dx.

На рисунке dy = KN, Dy = M1N.

dy < Dy dy > Dy

Свойства дифференциала (1-5 аналогичны свойствам производной):

1. = 0.

2. d(Сu) = Сdu.

3. d(u ± v) =du ± dv.

4. d(uv) = vdu + udv.

5. .

6. Свойство инвариантности (т.е. неизменности) формы (формулы) дифференциала. Рассмотрим сложную функцию .

Тогда ,

т.е. формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и.

8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях

Из изложенного выше следует, что . Поэтому при достаточно малых значениях Dx Dу» dy или . Откуда

(3)

Пример 10. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции, tg460.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой (3).

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) =(tgx) = . Тогда . Учитывая, что tg460 = tg(450 + 10) = tg, возьмем х = и Δх = .

Тогда tg460 = tg.

Пример 11. Вычислить приближенно ,

Решение .Приближенная формула для вычисления корней n -й степени :

, поэтому

Возьмем x =16; Dx =0,64 ;





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 256; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.225.16.10
Генерация страницы за: 0.007 сек.