Производные и дифференциалы высших порядков. Определение. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в

Градиент.

Определение. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке , то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Теорема. Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор :

Следствие:

.

Определение. Частными производными n -ого порядка называются частные производная первого порядка от частных производных (п-1)-го порядка.

Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными частными производными.

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:

.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

…………………

Дата добавления: 2013-12-13