Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Cвойства криволинейного интеграла.

1) Криволинейный интеграл определяется подинтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования.

При изменении направления интегрирования вектор меняет знак, следовательно криволинейный интеграл тоже меняет знак, т.е.

Замечание: Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.

2) Если кривую L точкой К разбить на части МК и КN, то

Это соотношение справедливо для любого числа слагаемых.

Если кривая L замкнутая, то употребляется символ

и обязательно указывается направление интегрирования.

Как уже отмечалось вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных интегралов.

Пусть кривая Z задана параметрически

Аналогично вычисляют криволинейный интеграл

,

когда кривая Z задана параметрически

α ≤ t ≤ β

Пример 1. Вычислить

а) L: отрезок прямой, соединяющей точки О(0; 0) и А(1; 1)

б) L: ломаная ОВА О(0; 0), В(1; 0), А(1; 1)

y а) L: y = x

А параметрически:

x = x

y = x dy = dx

0 ≤ x ≤ 1

О B x

б)L: ломаная ОВА

Пример 2. (Б.3818). Вычислить ,

где L отрезок прямой от т.(1; 1; 1) до т.(2; 3; 4)

Составим уравнение прямой по формуле

Параметрические уравнения прямой

x = t +1 dx = dt

y = 2t +1 0 ≤ t ≤ 1 dy = 2dt

z = 3t +1 dz = 3dt

1 1 1

∫ xdx + ydy + (x+y-1) dz = ∫ (t +1) dt +∫ (2t +1) 2dt +∫ (t +1+ 2t) 3dt =

L 0 0 0

1 1 1

=(t²/2 + t)│+ 2(t² + t) │+ 3(3t²/2 + t) │ = ½ +1 +2(1+1) + 3(3/2 +1) =

0 0 0

=½ + 5 + 9/2 + 3 = 5 + 8 = 13

Дата добавления: 2013-12-13