Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Формула Стокса.

Для поверхностных интегралов имеет место формула, позволяющая свести вычисление интеграла по поверхности σ к вычислению криволинейного интеграла по контуру L, ограничивающему эту поверхность.

Теорема Стокса. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула

, (*)

где L - граница поверхности σ.

Направление криволинейного интеграла (вдоль L) и поверхностного (по σ) интегрирований согласованы между собой следующим правилом:

если человек, идущий по той

z σ стороне поверхности σ, по которой

производится поверхностное

L интегрирование, перемещается

вдоль границы L в направлении

криволинейного интегрирования,

то поверхность должна оставаться

слева.

0 y

D

x L1

 

Формула (*) называется формулой Стокса.

Доказательство. Докажем теорему путем сведения поверхностного интеграла к двойному с последующим применением формулы Грина.

Будем считать, что поверхность σ пересекается с любой прямой, параллельной оси oz не более, чем в одной точке. Тогда уравнение этой поверхности будет z = z (x, y). Интегрирование будем вести по верхней стороне поверхности.

Рассмотрим интеграл

Из формулы определения поверхностного интеграла имеем

где γ и β – углы между нормалью и осями oz, oy

т.к. уравнение поверхности σ: z = z (x,y), то проекциями нормального вектора будут , , -1, Направляющие косинусы пропорциональны этим проекциям, то поэтому .

Значит

Приведем этот интеграл к двойному. z заменим на z(x,y) и

Таким образом, полагая , имеем ,

где D – проекция поверхности σ на плоскость xoy.

Применяя формулу Грина, получим

,

где L1 – граница области D. Контур L1 – есть проекция кривой L – границы поверхности σ на плоскость xoy.

Итак, (1)

Аналогично (2)

(3)

Складывая почленно равенства (1), (2), (3) получим формулу Стокса.

Пример. Вычислить

,

где L – линия пересечения поверхностей

, , , ,

z

В

C

A

0 1 у

По формуле Стокса получим

Каждый из них сведем к двойному интегралу

 

Окончательно J = -14.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дивергенция | Циркуляция и ротор векторного поля
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 578; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.