Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Лекция 23. Понятие производной и её смысл (геометрический, физический, экономический). Производные элементарных функций. (Вывод). Таблица производных. Правила дифференцирования. Дифференциал и его смысл.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Лекция 22. Замечательные пределы. Первый и второй замечательные пределы. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Вычислению многих пределов, содержащих неопределенности, часто помогает использование двух так называемых замечательных пределов:

1) (x – угол в радианах)

(1)

2) , где .

(в другом виде )

Докажем первый замечательный предел. Для этого вспомним школьную формулу для длины l произвольной дуги окружности (рис.1):

А теперь рассмотрим рис. 2:

; ; ; ; (– в радианах).

При хорда M ₁ M ₂ и дуга M ₁ NM ₂, неограниченно уменьшаясь, практически становятся неразличимыми (малая дуга практически не отличается от стягивающей ее хорды). То есть их отношение стремится к единице. Таким образом, при дробь . А это и означает, что

(– угол в радианах)

Полученный результат совпадает (при другом обозначении) с первым замечательным пределом (1).

Второй замечательный предел, приводит к важному для всей высшей математики числу e (к Неперову числу – по имени шотландского математика 16–го века Джона Непера, введшего в математику это число). Приведем доказательство.

Теорема 1: Переменная величина, где n - натуральное число, при имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Доказательство: По формуле бинома Ньютона мы можем написать:

Произведем алгебраические преобразования.

(2)

Из полученного равенства можно сделать вывод, что переменная величина является возрастающей. Действительно,

1) все члены разложения – положительны;

2) при переходе от значения n к (n+1) каждое слагаемое суммы возрастает, т.к. ;

3) добавляется ещё одно слагаемое.

Также переменная величина ограничена. Докажем этот факт. Учитывая, что ; и т.д., из (2) получаем и

.

Заметив, что . Используем эти оценки и получим: . Слагаемые в квадратных скобках образуют геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Поэтому

. Подытоживая все сказанное, получаем: .

Итак, переменная величина - возрастающая и ограниченная. На основании свойств пределов она имеет предел. Этот предел обозначим буквой е.

Теорема 2: Функция при стремится к числу е.

.

Доказательство: по теореме 1 , если n принимает целые положительные значения. Пусть теперь x стремится к бесконечности, принимая как дробные, так и отрицательные значения.

1) Пусть . Каждое его значение заключено между двумя положительными целыми числами . При этом будут выполняться неравенства:

Если , то . Найдем пределы переменных величин, между которыми заключена функция .

.

.

Следовательно, по свойствам пределов мы имеем .

2) Пусть . Введем новую переменную t=-(x+1) или x=-(t+1). При новая переменная . Сделаем замену переменной и получим:

Что и требовалось доказать.

Число , как и число , принадлежит к числу важнейших математических констант. А такие функции, как и , принадлежат к числу важнейших элементарных функций, используемых в высшей математике. Графики этих функций показаны на рисунках (3.12) и (3.13). При этом показательная функция называется экспоненциальной, а ее график называется экспонентой. А логарифмическая функция называется функцией натурального логарифма, а ее график называется натуральной логарифмической кривой. Эти функции играют большую роль при математическом описании различного рода природных процессов. Именно поэтому, в частности, логарифм по основанию e назвали натуральным – от слова «natur» (природа).

В математических справочниках имеются таблицы этих двух важных функций - и , и . Впрочем, для вычисления натуральных логарифмов можно воспользоваться и таблицами общеизвестных десятичных логарифмов , если применить формулу перехода в логарифмах от одного основания к другому:

;

(2.8)

При использовании замечательных пределов имеют в виду следующее обстоятельство: значение предела зависит от вида функции и того, к какому пределу стремится переменная, но не зависит от обозначения переменной.

Пример 1. .

Пример 2. ;

(при преобразованиях использовано обозначение ).

Пример 3. ;

(при преобразованиях использовано обозначение ).

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. Найти .

Используя формулу суммы кубов, преобразуем выражение под знаком предела: .

Пример 7. Найти .

Решение.

.

Пример 8. Найти .

Решение.

=| введем обозначение: (); тогда ; |=

.

Пример 9: Найти .

Пример 10: Найти .

Пример 11: Найти .

Чтобы подогнать структуру этого предела под структуру второго замечательного предела в основании степени прибавим и вычтем 1.

Выведем формулу, удобную для нахождения пределов в случае применения второго замечательного предела (неопределенности вида ). Пусть . Здесь a может быть любым конечным числом или . Рассмотрим предел степени этих функций:

Итак,

Пример 12. Найти .

Проверим:

Найдем

Тогда

Пример 13.

Пример 14.

Пример 15.

Для самостоятельного решения:

1. Найти . Ответ: .

2. Найти . Ответ: .

3. Найти . Ответ: е.

4. Найти . Ответ: .

5. Найти . Ответ: -4/5.

6. Найти . Ответ: .

7. Найти . Ответ: -1/10.

Кроме уже упомянутых первого и второго замечательных пределов, существует целый список пределов аналогичных ему по структуре и использованию:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

11).

К этому списку полезно помнить следующие тригонометрические тождества: ; .

Принцип использования этого списка очень прост: нужно подогнать структуру в искомом пределе под структуру соответствующего выражения в табличном пределе. Все необходимые сомножители либо выделяются из имеющегося выражения, либо приобретаются путем умножения и деления на него, либо выделяются с помощью преобразований исходного выражения. Приведем доказательство некоторых пределов из этого списка.

а) – согласно (2.7);

б) ;

в) ;

г)

;

д)

;

е)

.

Часто перед тем, как применить табличные пределы, нужно провести какие-либо дополнительные, уже описанные ранее, стандартные преобразования или сделать замену переменной. Рассмотрим пример, в котором нужно избавиться от иррациональности.

Пример 16 Найти .

Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на

Другое стандартное преобразование «плюс-минус единица» встречается на практике в примерах, содержащих логарифмы и степенные функции. В этих случаях логарифмируемое выражение и основание степенной функции при действительно стремится к 1, но они задаются в таком виде, где постоянное слагаемое 1 отсутствует. Чтобы пользоваться табличными пределами, нужно преобразовать логарифмируемое выражение и основание степени к требуемому виду. Для этого и используется стандартное преобразование «плюс-минус единица». При этом мы явно получаем 1 и выражение , что позволит далее использовать табличные пределы.

Пример 17: Найти .

Пример 18:Найти .

.

Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную, и из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной. Рассмотрим пример, в котором наиболее целесообразным представляется замена переменной.

Пример 19: Найти .

При не существует предела . Сделаем подстановку: . Когда , то новая переменная , так как . Если , то ; выражение, стоящее под знаком предела перепишется так:

поэтому

Табличные пределы можно использовать для вычисления других пределов при раскрытии неопределенностей вида , заменяя одни функции на им эквивалентные бесконечно малые. Функции называются эквивалентными бесконечно малыми при , если Другими словами эквивалентность означает выполнение предельного равенства. Эквивалентность двух функций обозначается волнистой чертой: .

При раскрытии неопределенности функцию или функции, входящие в предел, можно заменить на им эквивалентные:

Замена во втором случае возможна, если . Используя замечательные пределы, можно составить таблицу эквивалентных бесконечно малых.

(3)

Приведем несколько примеров использования эквивалентных функций при вычислении пределов.

Пример 20.

Пример 21.

Пример 22.

Пример 23.

Пример 24.

Пример 25.

Пример 26.

Для самостоятельного решения:

1. Найти . (1/2).

2. Найти . ().

3. Найти . ().

4. Найти . (1/е).

5. Найти . (1/2).

6. Найти . (1).

7. Найти . (1).

8. Найти . (1).

Дифференциальное исчисление – это раздел высшей математики, базирующийся на использовании таких ключевых для всей высшей математики понятий, как производные и дифференциалы функций. Эти понятия были введены в математику в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем.

Производная функции рассматривалась в школьном курсе математики. Поэтому сначала кратко повторим пройденное.

Пусть – некоторая непрерывная функция (ее график – сплошная линия) – рис..1. Здесь (М ₁, М ₂, М ₃,…) – вершины и впадины графика функции. А их проекции (x ₁, x ₂, x ₃,…) на ось ох называются соответственно точками максимума и минимума функции. Эти точки имеют и общее название: точки экстремума функции. Повторим еще раз: точки экстремума (точки максимума и минимума) функции – это не вершины и впадины графика функции, а их проекции на ось ох.

Интервал оси ох, на котором с увеличением аргумента x растет и функция y, называется интервалом возрастания функции. А интервал оси ох, на котором с увеличением аргумента x функция y убывает, называется интервалом ее убывания. В частности, на рис. 1 интервалы () и (x ₂; x ₃) – интервалы возрастания функции , а интервалы (x₁; x₂) и () – интервалы ее убывания.

Функция, возрастающая (убывающая) на некотором интервале, считается возрастающей (убывающей) в каждой точке x этого интервала.

Заметим, что возрастая или убывая на интервале, функция делает это для разных x, вообще говоря, неодинаково быстро. Например, возрастающая на интервале (x ₂; x ₃) функция (рис..1) сначала для x, близких к x ₂, растет медленно (график функции поднимается медленно); затем, по мере увеличения x, крутизна подъема графика функции возрастает, а значит, увеличивается и скорость роста функции; затем, по мере приближения x к x ₃, скорость роста функции снижается. В точке x ₃ рост функции прекращается и затем, для , начинается убывание функции. И оно тоже, очевидно, происходит для разных x с разной скоростью.

Возникает естественная задача: оценить скорость изменения функции (скорость ее роста или убывания) в каждой точке x численно. Эта задача решена в конце 17 века Ньютоном и Лейбницем путем введения в математику понятия производной функции.

Вспомним, как вводится это понятие. Пусть – некоторая непрерывная на интервале (a; b) оси ох функция. Если на этом интервале взять конкретное значение аргумента x (конкретную точку x), то в этой точке функция y получит конкретное значение . А теперь изменим x на некоторое , то есть перейдем от x к (или ), причем возьмем такое, чтобы и точка тоже принадлежала интервалу (a; b) (рис.2).

Переход от x к означает, что аргумент x получил приращение (изменение) . При этом, естественно, и функция получит некоторое изменение (приращение) :

(1)

Приращение функции , как и приращение аргумента , может быть любого знака – как положительным, так и отрицательным.

А теперь рассмотрим отношение , то есть отношение приращения функции к приращению аргумента. Это отношение показывает, на сколько единиц в среднем изменится y, если x изменится на единицу длины участка . То есть отношение определяет среднюю скорость изменения функции на участке оси ох.

Проиллюстрируем оправданность этого термина «средняя скорость» на механическом примере. Пусть функция определяет закон движения некоторой материальной точки по траектории ее движения, где x – время, а y – координата точки на траектории (рис. 3). Как и на реальной дороге, координату y точки на траектории ее движения можно понимать как удаленность этой точки от некоторой начальной точки О (от города, например). Зная закон движения движущейся точки, мы можем определить координату y этой точки в любой интересующий нас момент времени x. Тогда за время , прошедшее с момента x до момента , координата y движущейся точки изменится со значения до значения , то есть точка получит перемещение , определяемое формулой (1). Заметим, что это перемещение может быть и положительным, и отрицательным. Положительным оно будет, если точка удаляется от начальной точки О (у нее тогда будет расти y), а отрицательным – если точка приближается к точке О (у нее тогда y будет убывать). При этом средняя скорость движения за время (с момента x до момента ) будет равна

(2)

Одновременно отношение (2) является и средней скоростью изменения функции на участке .

Однако нас в конечном итоге интересует не средняя скорость изменения функции на участке, а истинная (мгновенная) скорость её изменения в заданной точке x. В частности, нас интересует мгновенная скорость движения точки по ее траектории (скорость в заданный момент времени x).

Чтобы получить эту скорость, нужно, очевидно, стянуть промежуток в точку x, то есть устремить к нулю. При этом, в силу непрерывности функции , и устремится к нулю, а отношение устремится к искомой мгновенной скорости изменения функции в точке х. То есть мгновенная скорость изменения функции в точке х - это

(3)

В частности, - это мгновенная скорость движения точки по ее траектории в момент времени х, если - закон движения точки.

Определение. Предел (3), представляющий собой мгновенную скорость изменения функции в точке х, называется производной функции в точке x. Используется несколько различных стандартных обозначений этой производной:

(4)

Последнее из этих обозначений использовал Ньютон, предпоследнее - Лейбниц, а первые три ввел французский математик Коши. В дальнейшем мы в основном для обозначения производной функции будем использовать обозначение Коши (или ), а при необходимости и (читается: производная функции y по переменной x).

Итак,

, (5)

или подробнее

(6)

– математическое определение производной функции в заданной точке x. Читается это определение так: производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Если x – время, а y – координата движущейся точки на траектории ее движения (рис. 3), то функция определяет закон движения точки, а производная этой функции – мгновенную скорость движения точки по ее траектории:

(7)

В этом состоит физический смысл производной функции.

Но у производной функции есть и наглядный геометрический смысл. Для его выяснения рассмотрим рис. 4. Проведем к графику функции через точку и точку секущую , а через точку касательную L. Их углы наклона к оси ох обозначим соответственно и . Из следует:

(8)

Если устремить к нулю, то и устремится к нулю, а точка N устремится к точке M. Соответственно секущая устремится к касательной L, проведенной в точке M, а угол наклона секущей устремится к углу наклона касательной. То есть при . Но тогда

при (9)

Иначе говоря,

, (10)

что с учетом (5) дает

(11)

То есть производная функции в точке x – это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке графика с абсциссой x (см. рис. 5). В этом и состоит геометрический смысл производной функции.

Производной функции можно придать и наглядный экономический смысл, причем разносторонний.

1. Пусть, например, – количество произведенной продукции за время t. Тогда за время , прошедшее с момента t до момента , будет произведено единиц продукции. При этом отношение – это, очевидно, средняя производительность труда на промежутке времени длительностью . Она выражает среднее количество продукции, произведенной за единицу времени этого промежутка. А тогда предел

(12)

– это так называемая предельная (истинная) производительность труда в момент времени t.

2. Пусть x – количество выпускаемой продукции (в некоторых единицах), а y – соответствующие издержки на ее производство (в рублях). То есть y – себестоимость продукции x. Тогда – зависимость себестоимости продукции y от ее объема x.

Если объем продукции вырастет с x до , то есть вырастет на единиц, то ее себестоимость вырастет на рублей. Тогда – средняя себестоимость продукции, приходящаяся на единицу ее прироста. А

(13)

– так называемая предельная себестоимость продукции, определяющая затраты на производство единицы дополнительной продукции, если достигнутый объем производства составляет x единиц.

3. Пусть – так называемая кривая спроса, определяющая связь между ценой p единицы товара и спросом q на этот товар (q – количество товара, который может быть продан при цене p за его единицу) – рис. 6.

Кривая спроса, естественно, является убывающей кривой. Ее форма зависит от потребительских свойств товара, от финансового состояния покупателей и от других факторов. При этом

(14)

– суммарный доход от продаж. А

(15)

– так называемый предельный доход. Он определяет доход, полученный от единицы проданной продукции, если эта единица продана дополнительно к объему продаж q.

Эти и другие предельные величины широко используются в так называемом предельном экономическом анализе. В экономической литературе предельные величины называют также маржинальными. При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква М. Например, MR – предельный доход R. И так как , то

(16)

Производная функции, согласно ее математического определения (5) и (6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

а) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного x имеет место вариант (а), то есть если при заданном x производная функции существует и конечна, то эта функция называется дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в каждой точке x некоторого промежутка оси ох (например, интервала (a; b) или отрезка [ a; b ]) называется дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (11) и рис.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке x:

1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой x.

2) Не вертикальность этой касательной (ибо не существует).

Например, функция , график которой изображен на рис.7, не дифференцируема в точках x ₁, x ₂ и x ₃.

Действительно, точке x ₁ соответствует на графике функции точка M ₁ с вертикальной касательной. Точке x ₂ (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M ₂, касательная в которой не существует. Точке x ₃ соответствует точка M ₃ – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она не вертикальна. Значит, для всех остальных x, отличных от (x ₁; x ₂; x ₃), существует производная функции. То есть во всех остальных точках x функция дифференцируема.

Непрерывность функций.

Определение. Функция у=f(x) называется непрерывной при значении х=х₀ (или в точке х₀), если она определена в некоторой окрестности точки х₀ (очевидно, и в самой точке х₀) и если или, что то же самое, .

Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у=f(x) в точках и х₀ будет по абсолютной величине произвольно малой, если только будет достаточно мало.

Для непрерывных функций справедливы следующие теоремы, регламентирующие операции с этими функциями:

Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке х₀, то сумма также есть непрерывная функция в точке х₀.

Теорема 2: Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3: Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Теорема 4: Если непрерывна при и f(u) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке х₀.

Еще три теоремы описывают свойства непрерывных функций:

Теорема 5: Если функция y=f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению, где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению . Значение функции будем называть наибольшим значением функции y=f(x) на отрезке , значение функции будем называть наименьшим значением функции на отрезке . (см. рис. 8)

Рис. 8.

Теорема 6: Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой функция обращается в нуль: .

Геометрический смысл этой теоремы в том, что график непрерывной функции , соединяющий точки и , где и (или и ) пересекает ось ох по крайней мере в одной точке.

Рис.9.

Теорема 7: Пусть функция определена и непрерывна на отрезке. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения , то каково бы ни было число , заключенное между числами А и В, найдется такая точка х=с, заключенная между а и b, что .

Геометрический смысл этой теоремы родственен теореме 6. В данном случае всякая прямая пересекает график функции .

Дата добавления: 2013-12-13