Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Теорема 8. Если функция дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке. Обратное не гарантировано.

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке x. Это значит, что ее производная существует и конечна в точке x. То есть

существует и конечен. По определению предела это значит, что

при .

То есть при малых имеем , откуда , причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Устремляя в нем , получаем, что и . А это, в силу (5), и означает непрерывность функции в точке x. Первая часть теоремы доказана.

Обратно, если функция непрерывна в некоторой точке x, то это еще не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция , график которой изображен на рис.7, непрерывна в любой точке x, ибо её график сплошной (без разрывов). И тем не менее в точках x ₁, x ₂ и x ₃, как было показано выше, она не дифференцируема.

Дата добавления: 2013-12-13