Упражнения. Таблица производных основных элементарных функций

Таблица производных основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Правила дифференцирования.

Упражнения

1. Опираясь на геометрический смысл производной показать, что

а) производная функции для любого x равна 2;

б) производная функции для любого x равна 0;

в) производная функции для положительна, а для отрицательна.

2. Уравнение движения точки по ее траектории (рис.3) имеет вид: . Показать, что точка тормозит при своем движении.

3. Функция – уравнение кривой спроса (рис.6). Показать, что для любых допустимых q производная этой функции отрицательна.

Опираясь на математическое определение производной (6), а также на ее физический (7) и геометрический (11) смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.

Пример 1. Пусть (С – произвольная константа). Найдем производную этой функции. То есть найдем производную константы С.

Решение. Его можно получить тремя способами.

а) Способ 1 – геометрический.

Графиком функции является горизонтальная прямая. Касательной к этой прямой, проведенной в любой ее точке, будет она сама. Ее угол наклона к оси ох равен нулю. Но . Значит, согласно (11), .

б) Способ 2 – физический.

Функция от x не зависит, то есть с изменением x не меняется. А значит, скорость v (x) ее изменения равна нулю. Но ведь скорость изменения функции, согласно (7) – это производная функции. Таким образом, если , то . Физический смысл этого вывода очевиден: если координата y движущейся точки неизменна, то точка стоит. А значит, скорость ее движения равна нулю.

в) Способ 3 – математический.

Воспользуемся математическим определением (1.6) производной функции:

Итак, разными способами получаем один и тот же вывод: если , то .

Пример 2. Пусть . Найдем производную этой функции.

Решение. Его наиболее просто получить геометрическим способом. Графиком функции является прямая, представляющая собой биссектрису первого и третьего координатных углов. Ее угол наклона к оси ох составляет 45º. Касательная к этой прямой в любой ее точке (при любом x) совпадает с этой же прямой. Поэтому, опираясь на геометрический смысл производной, получаем: . То есть . Этот же результат, заметим, следует и из математического определения производной (6):

Пример 3. Пусть . Найдем производную этой функции.

Решение. Графиком функции является парабола. Касательная к ней в разных ее точках имеет разное направление (разный угол наклона к оси ох). Поэтому использовать геометрическую формулу (11) для нахождения производной этой функции в данном случае затруднительно. Затруднительно использовать и физический смысл производной (7). Тогда остается воспользоваться её математическим определением (6):

Итак, если , то .

Используя математическое определение производной (6), можно найти производные всех основных элементарных функций. Приведем уже в готовом виде таблицу производных этих функций.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

5^* ;

6. ;

6^*.;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ; (17)

13. ;

14..

Таблицу производных желательно выучить наизусть.

Выведем некоторые производные.

Пример 4. Производная функции , где n – целое положительное число, равна .

Решение. Имеем функцию . Воспользуемся для вывода математическим определением производной.

Что и требовалось получить.

Пример 5. Производная функции y=sinx, равна .

Решение.

Пример 6. Производная функции равна .

Решение.

Обратим внимание, что производные степенной и показательной функции (формулы 4 и 5) находятся по разным формулам; что из всех показательных функций наиболее простую производную имеет функция ; что из всех логарифмических функций наиболее простую производную имеет натуральный логарифм .

Нахождение производных многих других элементарных функций (более сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих правил вычисления производных (правил дифференцирования функций):

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. . (18)

Здесь и – любые две дифференцируемые функции, а С – любая константа.

Несмотря на то, что таблица производных (17) и правила дифференцирования (18) известны еще из курса школьной математики, приведем вывод этих правил, основанный на использовании определения производной (6).

Теорема 10. Постоянный множитель можно вынести за знак, т.е. , где С- константа.

Доказательство. Пусть у нас есть дифференцируемая функция . Найдем производную функции .

,

,

,

, что и требовалось доказать.

Теорема 11. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций, т.е. .

Доказательство. Пусть у нас есть две дифференцируемые функции и . Найдем производную функции .

,

,

,

, что и требовалось доказать.

Теорема 12. Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции т.е. .

Доказательство. Пусть у нас есть две дифференцируемые функции и . Найдем производную функции .

,

,

, что и требовалось доказать.

Теорема 13. Производная дроби (т.е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя т.е. .

Доказательство. Пусть у нас есть две дифференцируемые функции и . Найдем производную функции .

,

,

,

, что и требовалось доказать.

Пример 7. ;

Решение.

Пример 8. ;

Решение.

.

Полученный результат

,

наряду с формулами (17), полезно запомнить.

Пример 9. ;

Решение.

.

Пример 10. ;

Решение.

Полученный результат

тоже полезно запомнить.

Дифференциал функции.

Понятие дифференциала функции тесно связано с понятием ее производной. Как и производная функции, дифференциал функции принадлежит к числу важнейших понятий математического анализа и введен в математику Ньютоном и Лейбницем параллельно с понятием производной.

Вспомним определение производной функции в некоторой фиксированной точке x (формулы 5 и 6):

(19)

Здесь – приращение аргумента x, а – соответствующее приращение функции y.

Будем считать, что данная функция дифференцируема в рассматриваемой фиксированной точке x. То есть будем считать, что производная в этой точке существует и конечна. Тогда, согласно (19),

при (20)

А это значит, что при малых значениях будем иметь:

(21)

Причем приближенные равенства (21) будут тем точнее, чем меньше (и соответственно чем меньше ).

А теперь будем считать приращение аргумента функции не просто малым, а бесконечно малым, и назовем его дифференциалом аргумента x. Введем (следуя Лейбницу) для него и специальное обозначение:

dx – дифференциал аргумента x. (22)

Таким образом, дифференциал dx аргумента x – это бесконечно малое приращение этого аргумента. Конечно, только что введенное понятие дифференциала переменной x – математическая абстракция (она сродни диаметру точки или толщине линии). Но математика постоянно пользуется абстракциями, поэтому еще одна абстракция пугать нас не должна.

Если приращение аргумента x бесконечно мало (), то и приращение функции y тоже будет бесконечно мало. Обозначим его символом dy и будем называть дифференциалом функции y. Так как , то

– дифференциал функции y. (23)

Если теперь в приближенных равенствах (21) заменить малые, но конечные и на бесконечно малые dx и dy, то эти равенства станут точными.

(24)

Оба равенства (24) имеют важный смысл. Первое из них дает выражение производной функции y через отношение дифференциалов dy и dx функции и аргумента. А второе дает выражение дифференциала функции dy через производную функции и дифференциал аргумента dx.

Кстати, если учесть, что , то последнее равенство (24) можно записать подробнее:

(25)

А если еще учесть исходное выражение (23) для дифференциала функции , то из последнего равенства получаем:

(26)

Равенство (26) позволяет записать значение функции в точке , бесконечно близкой к точке x, через значение функции и ее производной в самой точке x. Эта формула имеет большое теоретическое значение.

Если в равенстве (26) заменить бесконечно малое dx на малое, но конечное , то вместо точного оно станет приближенным:

(27)

Равенство (27) называется простейшим вариантом формулы Тейлора. Эта приближенная формула тем точнее, чем меньше . Она используется для приближенного вычисления значения по значениям и . У формулы (27) имеется и ясный геометрический смысл – мы его укажем далее. Там же мы приведем и полный вариант формулы Тейлора.

В частности, применяя эту формулу для функций ; ; ; , и т.д., получим следующие интересные формулы для производства приближенных вычислений:

1) ; (– в радианах) 2) ; (28)

3) ; ;

4) ; ;

В частности, используя последнюю формулу, получим:

.

Для сравнения: точное значение . То есть приближенное значение , полученное вручную, отличается от его точного значения лишь в четвертом знаке после запятой.

Вернемся все же к формулам, служащим для нахождения дифференциала функции . На базе этих формул можно установить следующие

свойства дифференциала функции:

1.

2.

3.

4.

5. (29)

Здесь С – любая константа, а , и – любые дифференцируемые функции. Действительно:

1. ;

2. .

Совершенно аналогично доказываются и остальные свойства (29).

1. Как известно, площадь круга S радиуса R находится по формуле , а объем шара V радиуса R – по формуле . Используя приближенную формулу (21), найти:

а) площадь тонкого кругового кольца с внутренним радиусом R и шириной ;

б) объем тонкой сферической оболочки с внутренним радиусом R и толщиной . Сравнить эти приближенные выражения с точными.

Ответ:

а)

б)

2. Используя формулу (27) для функции , вычислить приближенно .

Ответ: .

3. Кривая спроса имеет линейный вид (; ). Найти изменение спроса на товар при изменении на цены p единицы этого товара.

Ответ: .

4. Пусть зависимость себестоимости продукции y от объема произведенной продукции x выражается формулой . Найти изменение себестоимости произведенной продукции, если объем x продукции увеличится с 15 ед. до 15,2 ед.

Ответ: себестоимость вырастет на денежных единицы.

Дата добавления: 2013-12-13