Лекция 24. Производная сложной функции и функции, заданной неявно. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование

Производная сложной функции.

Пусть , а – любые две дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда функция – так называемая сложная функция от x (она представляет собой функцию от функции). Найдем ее производную (производную от y по x). Для этого дадим аргументу x некоторое приращение , то есть перейдем от x к . Приращение величины x вызовет некоторое приращение величины u, а то, в свою очередь, вызовет некоторое приращение величины y. Так как функции и являются, по условию, дифференцируемыми функциями своих аргументов, то они являются и непрерывными функциями своих аргументов. То есть при и , и . А тогда, согласно определению производной, получаем:

.

Итак, если – сложная функция от x, то . Или, опуская значок x (но подразумевая его) запишем короче:

(1)

Формула (1) представляет собой правило вычисления производной (правило дифференцирования) сложной функции.

Собственно говоря, суть правила (1) проста. А именно, если функция – простая функция от x (из числа основных элементарных функций, чьи производные содержатся в таблице производных), то ее производная и выглядит, и находится просто: . А если , где – две простых функции, то – уже сложная функция от x. Ее производная по x находится уже по формуле (1): сначала находим производную от функции по переменной u (точно так же, как находим производную от функции по переменной x), а затем умножаем ее на производную функции по переменной x.

Чтобы сделать наглядным применение этого правила, приведем таблицу сравнения, содержащую производные некоторых простых и аналогичных им сложных функций от x:

Таблица 1.

Производные простых функций (x – независимая переменная)	Производные сложных функций (– любая дифференцируемая функция)
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
(……)	(……)

Таблица (1) наглядно иллюстрирует разницу между производными простых и сложных функций.

Пример 1. ;

Решение.

Пример 2. ;

Решение.

Пример 3. ;

Решение.

Пример 4. ;

Решение.

.

Пусть теперь и – любые две дифференцируемые функции. Тогда – сложная функция от x. И ее дифференциал dy, как оказывается, можно найти по любой из двух следующих формул:

1) ; 2)

Данные формулы выражают так называемое свойство инвариантности формы дифференциала функции. Согласно этого свойства, дифференциал функции имеет форму произведения производной этой функции на дифференциал ее аргумента независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной (x) или функцией (u) от другого аргумента.

Действительно, если x – независимая переменная, то дифференциал dy функции y, зависящей от x, находится, по первой из этих формул. Но так как – сложная функция от x, то используя формулу (1) для производной сложной функции, получим:

То есть приходим ко второй формуле.

Производная функции, заданной неявно.

Если функция задана в неявном виде, то есть задана уравнением (в этом уравнении y не выражен через x, и выразить его не удается), то при нахождении производной такой функции поступают следующим образом:

1) Дифференцируют обе части уравнения по x, помня при этом, что y – это функция от x. В результате появляется некоторое равенство , содержащее искомую производную .

2) Выражают из полученного равенства эту производную.

Таким образом, производную функции y, заданной неявно уравнением , находят по схеме:

(2)

Пример 5. Найти производную функции y, заданной неявно уравнением .

Решение.

Производная функции, заданной параметрически.

Если функция задана в параметрической форме

, (3)

то ее производную находят по формуле:

. (4)

Подтвердим эту формулу. Пусть и – дифференцируемые функции параметра t. Зафиксируем некоторое t, а затем придадим ему приращение . При этом x и y получат некоторые приращения и , причем при и , и (функции и – дифференцируемые, а значит, и непрерывные). А тогда

.

Пример 6. Функция , заданная параметрически уравнениями

,

представляет собой параметрическое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R (рис. 1).

Найдем производную этой функции:

Дата добавления: 2013-12-13