Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x) = f(x)

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке (a; b), если для всех xÎ(a; b) выполняется равенство F¢ (x) = f (x).

Например, для функций

первообразной будет функция ,

sin3x

Если для F (x) установлено равенство dF (x) = f (x) dx, то F (x) ¾ первообразная для f (x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f (x) на (a; b), то F (x) + C, где C – число, тоже первообразная для f (x) на (a; b).

Доказательство.

(F + C) ¢ = F¢ + C¢ = f + 0 = f

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g (x) постоянна на (a; b), то g¢ (x) = 0.

Доказательство.

Так как g (x) = C, справедливы равенства: g¢ (x) = C¢ = 0.

Если g¢ (x) = 0 при всех x Î(a; b), то g (x) = C на (a; b).

Доказательство.

Пусть g¢ (x) = 0 во всех точках (a; b). Зафиксируем точку x ₁Î(a; b). Тогда для любой точки x Î(a; b) по формуле Лагранжа имеем

g (x) – g (x ₁) = g¢ (x)(x – x ₁)

Так как x Î(x; x ₁), а точки x и x ₁ принадлежат промежутку (a; b), то g¢ (x) = 0, откуда следует, что g (x) – g (x ₁)=0, то есть g (x) = g (x ₁)= const.

Теорема 2. Если F (x) есть первообразная для f (x) на промежутке (a; b), а G (x) – другая первообразная для f (x) на (a; b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F) ¢ = G¢ – F¢ =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ¾ число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке (a; b) называется неопределенным интегралом от f (x) и обозначается ò f (x) dx. f (x) dx ¾ подинтегральное выражение, f (x) ¾ подинтегральная функция. Если F(x) – первообразная для f(x), то ò f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢ (x) = f (x) соответствует формула ò f (x) dx = F (x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1) ò dx = x + C;	7) ò cos x dx = sin x + C;
2) ò x^ndx = + C, (n ¹ –1);	8) ;
3) ;	9) ;
4) ò e^xdx = e^x + C;	10)
5) ò a^xdx = + C;	11)
6) ò sin x dx = -cos x + C;

Т.е. взяли таблицу производных, прочитали её «задом наперёд» и получили таблицу интегралов.

По постановке задачи

Дифференцирование	Интегрирование
Задана функция f (x). Требуется найти производную f¢ (x).	Задана функция F (x), являющаяся производной функции f (x). Требуется найти функцию f (x).

Итак, интегрирование — это операция обратная дифференцированию.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) (ò f (x) dx) ¢=f (x);	4) ò d f (x)= f (x)+ C;
2) ò f¢ (x) dx = f (x)+ C;	5) ò kf (x) dx=k ò f (x) dx;
3) d ò f (x) dx= f (x) dx;	6) ò (f (x)+ g (x)) dx= ò f (x) dx +ò g (x) dx;
7) Если ò f (x) dx = F (x) + C, то ò f (ax+b) dx = (a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

Дата добавления: 2013-12-13