Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x) = f(x)




Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке (a; b), если для всех xÎ(a; b) выполняется равенство (x) = f (x).

Например, для функций

первообразной будет функция ,

sin3x

Если для F (x) установлено равенство dF (x) = f (x) dx, то F (x) ¾ первообразная для f (x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

 

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f (x) на (a; b), то F (x) + C, где Cчисло, тоже первообразная для f (x) на (a; b).

Доказательство.

(F + C) ¢ = + = f + 0 = f

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g (x) постоянна на (a; b), то g¢ (x) = 0.

Доказательство.

Так как g (x) = C, справедливы равенства: (x) = = 0.

Если g¢ (x) = 0 при всех x Î(a; b), то g (x) = C на (a; b).

Доказательство.

Пусть (x) = 0 во всех точках (a; b). Зафиксируем точку x 1Î(a; b). Тогда для любой точки x Î(a; b) по формуле Лагранжа имеем

g (x) – g (x 1) = (x)(xx 1)

Так как x Î(x; x 1), а точки x и x 1 принадлежат промежутку (a; b), то (x) = 0, откуда следует, что g (x) – g (x 1)=0, то есть g (x) = g (x 1)= const.

Теорема 2. Если F (x) есть первообразная для f (x) на промежутке (a; b), а G (x) – другая первообразная для f (x) на (a; b), то G = F + C, где Cчисло.

Доказательство.

Возьмем производную от разности GF: (GF) ¢ = G¢ – F¢ =
= ff = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ¾ число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f (x) на промежутке (a; b) называется неопределенным интегралом от f (x) и обозначается ò f (x) dx. f (x) dx ¾ подинтегральное выражение, f (x) ¾ подинтегральная функция. Если F(x) – первообразная для f(x), то ò f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления (x) = f (x) соответствует формула ò f (x) dx = F (x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

 

1) ò dx = x + C; 7) ò cos x dx = sin x + C;
2) ò xndx = + C, (n ¹ –1); 8) ;
3) ; 9) ;
4) ò exdx = ex + C; 10)
5) ò axdx = + C; 11)
6) ò sin x dx = -cos x + C;  

Т.е. взяли таблицу производных, прочитали её «задом наперёд» и получили таблицу интегралов.

По постановке задачи

 

Дифференцирование Интегрирование
  Задана функция f (x). Требуется найти производную (x).   Задана функция F (x), являющаяся производной функции f (x). Требуется найти функцию f (x).

 

Итак, интегрирование — это операция обратная дифференцированию.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

 

1) (ò f (x) dx) ¢=f (x); 4) ò d f (x)= f (x)+ C;
2) ò (x) dx = f (x)+ C; 5) ò kf (x) dx=k ò f (x) dx;
3) d ò f (x) dx= f (x) dx; 6) ò (f (x)+ g (x)) dx= ò f (x) dxg (x) dx;
7) Если ò f (x) dx = F (x) + C, то ò f (ax+b) dx = (a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 602; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.