Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Случайное событие. Вероятность





Детерминированные и стохастические принципы в физических методах исследования биологических систем и объектов

В теории вероятностей исследуются закономерности, относя­щиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятно­стный характер и, как остроумно замечено, лишь патологоана-томическое исследование может достоверно определить ди­агноз умершего человека.

Наблюдая различные явления, можно заметить, что существу­ет два типа связей между условиями S и наступлением или ненас­туплением некоторого события А. В одних случаях осуществление комплекса условий S (испытание) непременно вызывает событие А. В других случаях многократное повторение испытания может привести или не привести к появлению события А. Такие события принято называть случайными: к ним можно отнести появление в кабинете врача больного с данной болезнью, выпадение опреде­ленной стороны монеты при ее бросании и др.

Не следует думать о случайных явлениях как о беспричинных, ничем не обусловленных. Известно, что многие явления связаны между собой, отдельное явление представляет следствие како­го-то другого и само служит причиной последующего. Однако проследить количественно эту связь между условиями и событи­ем часто затруднительно или даже невозможно.

В быту применительно к таким случайным событиям употреб­ляют слова «возможно», «вероятно», «маловероятно», «невероятно».

Однако и случайные события, если их чис­ло достаточно велико, подчиняются определенным закономернос­тям. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятностей..

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие мас­совым (статистическим) случайным событиям.

Исторически теория вероятностей появи­лась в связи с попытками подсчета возможности различных исхо­дов в азартных играх. В настоящее же время она применяется в науке, в том числе биологии и медицине, для оценки вероятности практически важных событий. От игр остались лишь наглядные примеры, которые удобно использовать для иллюстрации теоре­тических положений.



Статистическое определение вероятности.Вероятность Р(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика сте­пени возможности появления какого-либо определенного случай­ного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000бросаний игральной кости цифра 4 выпа­дает 160раз. Отношение 160/1000= 0,16показывает относитель­ную частоту выпадания цифры 4 в данной серии испытаний. В бо­лее общем случае, когда случайное событие А происходит т раз в серии п независимых испытаний, относительной частотойсо­бытия в данной серии испытаний или просто частотой события А называют отношение

(1)

При большом числе испытаний частота события примерно по­стоянна: увеличение числа испытаний уменьшает колебание час­тоты события около постоянной величины.

Вероятностью случайного события назовем предел, к ко­торому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

(2)

 

Это статистическое определение вероятности.

Практически за вероятность [см. (2.2)] можно принять относительную частоту события при боль­шом числе испытаний. Так, например, из статистических законо­мерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивают в 0,515.

Классическое определение вероятности.Если при испыта­ниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появлялось бы чаще других (равновозможные собы­тия), можно определить вероятность исходя из теоретических со­ображений.

Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно из п равновозможных несовместных событий (несов­местными называют события, если их одновременное осуществ­ление невозможно). Пусть рассматриваемое событие А происхо­дит в т случаях, которые называются благоприятствующими А, и не происходит при остальных п — т, неблагоприятствующих А. Тогда вероятностью можно назвать отношение благоприят­ствующих случаев к общемучислу равновозможных несов­местных событий:

(3)

Это классическое определение вероятности. Рассмотрим пример.

* В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероят­ность того, что вынутый наугад один шар будет черным.

- Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: т = 10. Общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равно полному числу шаров в урне: п = 40. Эти события несовмест­ны, так как вынимается один и только один шар. По формуле (3) имеем



Р(А) = 10/40 = 1/4.

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых со­бытий. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятнос­тей.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несов­местных событий равна сумме их вероятностей. Для двух несовместных событий

Р(А или В) = Р{А) + Р(В). (4)

Докажем эту теорему. Пусть п — общее число испытаний, m1 — число случаев, благоприятствующих событию А, т2 — число слу­чаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благопри­ятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Тогда

Отсюда, учитывая (4), имеем

Р(А или В) = Р(А) + Р(В).

Теорема умножения вероятностей: вероятность совместно­го появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий

Р(А и В) = Р(А) Р(В). (5)

Докажем эту теорему. Так как события А и В независимы, то каждому из т1 случаев, благоприятствующих А, соответствуют т2 случаев, благоприятствующих В. Таким образом, общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В, равно т1т2. Аналогично, общее число равновозможных собы­тий равно n1n2, где п1 и п2 — числа равновозможных событий со­ответственно для А и В. Имеем

(6)

* Найти вероятность того, что в семье с тремя детьми все трое сы­
новья. Считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,515 и пол
каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущих детей.

ТПо теореме умножения вероятностей,

Р(А и В и С) = 0,515 • 0,515 • 0,515 ~ 0,14.

Теорема умножения вероятностей усложняется, если оп­ределяется вероятность события, состоящего из совместно­го появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что собы­тие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна

Р(АиВ) = Р(А) Р(В/А), (7)

где Р(В/А) условная вероятность, т. е. вероятность события В при условии, что событие А состоялось.





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 597; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. L Вероятность обнаружения электрона определяется квадратом волновой функцией - y2
  2. В большинстве случаев, зная распределение яркостных и цвето- разностных данных одного кадра, можно с высокой вероятностью предсказать их распределение в ближайшем соседнем кадре.
  3. В обстановке риска (неопределенности) максимум, что может сделать менеджер, это определить вероятность успеха для каждой альтернативы.
  4. Вероятность
  5. Вероятность задержки платежей в зависимости от Q
  6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник.
  7. Вероятность того, что эти стволовые клетки понадобятся ребенку или членам его семьи невелика.
  8. Где pi – вероятность того, что именно i-е сообщение выделено в наборе из N сообщений.
  9. Геометрическая вероятность.
  10. Можно показать, что при и вероятность удовлетворяет предельному равенству
  11. Плотность распределения позволяет найти вероятность того, что
  12. Пусть А – случайное событие, вероятности появления и непоявления

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.022 сек.