Моменты инерции некоторых тел

а) момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно к нему.

На стержне выделим элементарный отрезок размером d l на расстоянии l от оси вращения. Элементарная масса d m отрезка стержня размером d l может быть найдена как

d m = t d l,

где t = – линейная плотность стержня.

Момент инерции отрезка  d l массой d m, находящегося на расстоянии l от оси вращения

d I = .

Тогда момент инерции всего стержня

I = .

Так как масса стержня m = t L, то

I = mL ²

б) момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно к нему.

На диске выделим кольцо толщиной d r на расстоянии r от оси вращения. Элементарная масса d m кольца толщиной d r может быть найдена как

d m = s d s = s 2p r d r,

где s = – поверхностная плотность диска.

Момент инерции кольца толщиной d r массой d m, находящегося на расстоянии r от оси вращения

d I = .

Тогда момент инерции всего диска

I = .

Так как масса диска m = pR ² s, то

I = m R ².

в) момент инерции сплошного однородного шара относительно оси, проходящей через его центр.

В шаре вырежем диск толщиной d r на расстоянии r от оси вращения. Момент инерции диска радиусом а = и массой d m равен

d I = .

Масса диска d m = r d V = r pa ² d r = r p (R ²– r ²) d r,

где r – объемная плотность шара.

Тогда момент инерции

=

= rp (R ⁵ – R ⁵ + R ⁵) = rpR ⁵.

Так как масса шара m = pR ³ r, то I = m R ².

Дата добавления: 2013-12-13