Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Колебания в системах с медленно изменяющимися параметрами

ЛЕКЦИЯ 14

 

 

В качестве примера такой системы можно снова рассмотреть маятник с переменной длиной при выполнении условия

 

. (1)

 

Условие (1) означает, что длина маятника мало изменяется за период колебаний .

Такие изменения параметров колебательной системы называются адиабатическими.

Рассмотрим гармонический осциллятор, описываемый уравнением

 

,

 

у которого коэффициент адиабатически изменяется со временем. В этом случае полная энергия зависит от времени. Вычислим производную от по :

 

.

 

При этом движение имеет характер колебаний с медленно изменяющимися периодом и амплитудой. Будем считать, что величина также изменяется медленно. Тогда ее можно представить в виде:

 

 

Индекс “0” означает, что значение величины в скобках берется в середине периода колеба-ний. Малая поправка является величиной более высокого порядка малости, чем .

Тогда изменение энергии осциллятора за период колебаний

 

.

 

Отбросим в этом выражении и индекс “0” у множителя перед интегралом. Это приведет к ошибке 2 – го порядка малости по . В силу периодичности решения можно положить . Тогда получим

 

. (2)

 

Полагая и проводя интегрирование в выражении (2), находим

 

.

 

Считая, что , приходим к уравнению

 

.

 

Интегрируя и учитывая, что , получим

 

, , или , .

 

Таким образом, при адиабатическом изменении параметров колебательной системы существуют функции ее параметров, которые остаются постоянными. Такие функции называются адиабатическими инвариантами.

Адиабатические инварианты являются эффективным средством исследования колебатель-ных систем различной природы. Они широко используются в теории ускорителей заряженных частиц, в физике плазмы, в атомной физике и т. д.

 

Пример. Движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле.

Заряженная частица с зарядом , как известно из школьного курса физики, движется в магнитном поле по винтовой линии вдоль направления вектора индукции (рис. 1).



На частицу действует сила Лоренца

 

,

 

которая изменяет лишь направление скорости частицы, оставляя неизменной ее кинетическую энергию.

Разложим вектор скорости на составляющие вдоль и перпендикулярно

 

.

 

В плоскости, перпендикулярной к второй закон Ньютона имеет вид:

 

, отсюда (ларморовский радиус).

 

Таким образом, в плоскости частица вращается по окружности радиуса с угловой скоростью (ларморовская частота). В продольном направлении сила Лоренца не влияет на движение частицы, то есть .

 

 

В проекции на ось уравнение движения приводится к уравнению осциллятора

 

.

 

Рассмотрим теперь движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле , . Если за период вращения в плоскости магнитное поле изменяется мало, то его изменение является адиабатическим. В этом случае, как было показано выше существует адиабатический инвариант

 

, где - кинетическая энергия поперечного движения.

 

Обычно при рассмотрении таких движений в качестве адиабатического инварианта выбирается магнитный момент

 

.

 

Из этого соотношения следует, что при движении в сторону усиливающегося магнитного поля поперечная энергия частицы возрастает. При этом, так как , сохраняется полная энергия , где . Значит при возрастании должна убывать продольная энергия , то есть частица будет тормозится в нарастающем магнитном поле. В момент, когда обратится в нуль, произойдет отражение частицы от области сильного магнитного поля. Поэтому в физике плазмы такие области называют магнитными зеркала-ми, или магнитными пробками. Это явление используется для удержания горячей плазмы в магнитных ловушках (пробкотронах). Аналогичный характер имеет движение заряженных частиц в магнитном поле Земли. В этом случае, частицы отражаются от областей более сильного поля в области полюсов.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Параметрический резонанс. Автоколебания | Колебательные системы со многими степенями свободы. Связанные колебания

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 319; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.029 сек.