Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Колебательные системы со многими степенями свободы. Связанные колебания

ЛЕКЦИЯ 15

 

Колебания одной материальной точки с двумя степенями свободы.

 

Рассмотрим шарик, прикрепленный к прямоугольной рамке четырьмя взаимно перпенди-кулярными натянутыми пружинами как показано на рис. 1.

1. Пружины одинаковы.

Траектория движения шарика определяется начальными условиями.

1) .

.

Шарик движется по прямой линии, проходящей через начало координат.

2) .

.

Шарик движется по эллипсу с полуосями и .

 

2. Пружины разные.

Пусть, например, . В этом случае за одно полное колебание по оси шарик совершит два колебания по оси (рис. 2). Такие траектории при кратных частотах по осям и называются фигурами Лиссажу. Их можно визуально наблюдать на экране осциллографа при соответствующем выборе частот напряжений, подаваемых на вертикальные и горизонтальные пластины.

 

 

Связанные колебания большого числа материальных точек.

 

Мы рассмотрели колебания одной материальной точки с двумя степенями свободы. Перейдем к рассмотрению колебательных систем из большого числа материальных точек, связанных между собой посредством упругих сил. Примером такой системы является натя-нутая струна, в которой колебания каждого ее элемента определяется колебаниями соседних элементов. Для выяснения физической сущности таких процессов рассмотрим простую систему из двух шариков, способных двигаться по вертикальным стержням и связанных с помощью пружин между собой и со стенками (рис. 3). Такая система имеет две степени свободы - и . При этом сила, действующая на каждый шарик зависит от эти двух координат. Для простоты шарики и пружины будем считать одинако-выми. Будем также предполагать, что пружины сильно натянуты, а колебания являются малыми. При этих условиях будет обеспечена пропорцио-нальнось возвращающей силы смещению шариков вдоль стержней.

Для описания движения такой системы удобно выделить два важных типа колебаний.

Парциальные колебания: один из шариков закреплен в положении равновесия. В общем случае частоты таких колебаний и разные. Они называются парциальными частотами. В нашем частном случае .



Нормальные колебания: все точки системы совершают колебания с одинаковой частотой.

Такие частоты называются нормальными частотами. В нашей системе нормальные колеба-ния с частотами и возникают при двух типах начальных условий: 1) оба шарика отклонены от положения равновесия в одну сторону; 2) шарики отклонены на одинаковое расстояние в разные стороны (рис. 4). В первом случае колебания происходят в одинаковой фазе, а во втором – в противоположных фазах. При этом , так как средняя пружина не деформируется в таких колебаниях. Во втором типе начальных условий средняя пружина деформирована сильнее, чем при парциальных коле-баниях, поэтому . Произвольные начальные отклонения шариков , можно всегда представить в виде суммы начальных отклонений этих двух типов с амплитудами

 

, .

 

Этот простой факт является отражением более общего утверждения: любое сложное движе-ние связанной колебательной системы есть сумма нормальных колебаний с различными частотами и начальными отклонениями.

Таким образом, движение при любых начальных условиях в нашей системе с двумя степе-нями свободы является суммой гармонических колебаний с частотами и . Такие движения называются биениями. Рассмотрим сумму двух колебаний с одинаковыми ампли-тудами с близкими частотами и нулевыми начальными фазами:

 

.

 

При можно рассматривать такое движение (биение) как колебание с медленно изменяющейся амплитудой (рис. 5).

 

, где -

 

период биений.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Колебания в системах с медленно изменяющимися параметрами | Волны в упругих средах

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 686; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.022 сек.