Волны в упругих средах

ЛЕКЦИЯ 16

Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.

В волне в упругой среде (газ, жидкость, твердое тело) происходят колебания малых частиц среды. Продольные волны – частицы среды совершают колебания вдоль направления рас-пространения волны (звуковые волны). Поперечные волны – направление колебаний пер-пендикулярно направлению распространения волны (волна в струне).

Обозначим через смещение частиц среды в волне относительно их положения равновесия. Тогда распределение смещений частиц вдоль направления распространения волны имеет вид, представленный на рис. 1. Длина волны – расстояние между ближайшими точками среды, в которых колебания частиц происходят в одинаковой фазе (например, расстояние между двумя “горбами”). Скорость волны – скорость перемещения фазы колебаний частиц (скорость движения “горба”). Поэтому такую скорость называют фазовой скоростью. Из этих определений следует соотношение

, где - период колебаний частиц.

Уравнением волны называют зависимость

.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых колебания частиц в волне происходят в одинаковой фазе. В простейшем случае плоской волны волновая поверхность представляет собой плоскость.

Получим уравнение плоской волны. Пусть в плоскости колебания частиц происходят по закону , где . Через время фаза колебаний в точке достигнет точки . Следовательно для смещений в точке получим

.

Это соотношение называется уравнением плоской волны. Для записи уравнения волны удобно ввести волновое число - . Тогда и выражение для принимает вид:

. (1)

Такая форма уравнения обычно и используется при рассмотрении волновых процессов. Уравнение (1) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси . Для волны в противоположном направлении

.

Мы будем рассматривать волны малой амплитуды. Для таких волн выполняется принцип суперпозиции

.

Он означает, что результатом взаимодействия двух или большего числа волн малой ампли-туды является сумма смещений частиц в каждой волне. Поэтому волны малой амплитуды называют линейными волнами. Волны большой амплитуды являются нелинейными. Их взаимодействие происходит по более сложным законам.

Уравнение (1) соответствует случаю монохроматической волны (). Этот термин сначала возник в оптике, но в дальнейшем стал использоваться и для волн в упругих средах.

Монохроматическая волна является некоторой идеализацией. На практике мы обычно имеем дело с ограниченными волновыми возмущениями (волновыми пакетами). Именно такие процессы переносят энергию и импульс в пространстве. При этом пакет волн можно пред-ставить в виде суммы (или группы) монохроматических волн. Он движется как целое с групповой скоростью. Для выяснения физического смысла этих понятий рассмотрим прос-тейший пример группы волн – две волны с одинаковыми амплитудами и близкими частота- ми и длинами волн:

, ,

где , . По принципу суперпозиции суммарное смещение частиц в пакете

.

Такой процесс называется биением волн. В этом случае основная волна модулируется по амплитуде огибающей волной с малой частотой и большой длиной волны (рис. 2). Очевидно, групповая скорость в нашем случае равна фазовой скорости огибающей волны

.

В пределе при получим

.

Значит, чтобы найти групповую скорость нужно знать зависимость . Такая зависимость называется дисперсионным уравнением. В частности, для звука в газе (нет дисперсии) и в этом случае , то есть групповая скорость совпадает с фазовой. Например, для волн на поверхности воды имеет место дисперсия и .

Дата добавления: 2013-12-13