Равномерный закон распределения погрешностей

Нормальный закон распределения погрешностей (Гаусса).

Применяется при следующих предположениях:

- погрешность может принимать непрерывный ряд значений в интервале;

- большие погрешности появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей с одинаковой абсолютной величиной и противоположных по знаку, одинакова.

где - среднее квадратическое отклонение погрешности. характеризует точность выполнения измерений.

Чем меньше, тем выше точность измерений.

При уменьшении (СКО) рассеяние случайных погрешностей относительно центра их распределения () уменьшается.

Графики нормального закона распределения.

Для нахождения вероятности необходимо подставить (3) в (1). Для случая, т.е. симметричного интервала:

Геометрическая интерпретация (4). На графике плотности вероятности для заданного СКО вероятность численно равна площади заштрихованной фигуры, ограниченной: функцией, отрезком оси погрешностей и ординатами. Для интервала погрешностей измерений () вероятность:

Для практического вычисления вероятности (4)удобно в интеграле заменить переменную на, при этом верхний предел заменяется на, а правая часть (4) преобразуется в табулируемый интеграл, называемый интегралом вероятностей Гаусса.

Значения интеграла вероятностей, могут быть определены либо графически, либо по таблицам (приводятся в математических справочниках), что позволяет найти вероятности по (4) для некоторых, имеющих практическое значение интервалов погрешностей представленных в долях:

Погрешность – называется равновероятной;

– называется максимальной (М= -в радиотехнике).

Соответствующий интегралу (5) закон распределения при, называется нормированным нормальным законом:

Равномерный закон распределения погрешностей характерен для поведения случайных погрешностей при измерении непрерывных физических величин методом дискретного счета (погрешности дискретизации) при преобразовании таких величин в ЦАП (погрешности квантования уровней сигналов), а так же для погрешностей отсчета показаний с различных шкал измерительных приборов. При этом все погрешности располагаются в некотором интервале (- ∆m, ∆m), где ∆m - максимальная погрешность.

Аналитически плотность вероятности равномерного закона распределения погрешностей описывается соотношениями:

Графическая интерпретация равномерного закона распределения плотности вероятности погрешностей.

Для расчета P (-∆г<∆<∆г) необходимо в выражение (1) подставить значение плотности вероятности:

На графике плотности вероятности площадь заштрихованного прямоугольника с основанием 2∆г и высотой 1/(2∆m) численно равна вероятности, определяемой по (8).

Среднее квадратическое отклонение (СКО) σ для этого закона распределения определяется:

Треугольный закон распределения (Закон Симпсона).

Характерен для случайных погрешностей цифровых измерительных приборов, в которых измеряемая величина преобразуется в пропорциональный интервал Тсч, называемый временем счета.

Для этого закона функция распределения плотности вероятности случайных погрешностей задается соотношениями:

Для этого закона вероятность расположения погрешности ∆ в интервале (-∆г, ∆г):

Графическая интерпретация треугольного закона распределения

Площадь заштрихованной области численно равна вероятности (10). Среднее квадратическое отклонение σ определяется по формуле:

Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Очевидно, что измерения физических величин могут быть произведены с различной точностью. Иногда достаточно знать приближенное значение измеряемой величины, полученное по приборам высокой точности.

Однако, во многих научных исследованиях измеряемую величину необходимо знать с высокой точностью, для чего необходимо дать оценку погрешности результата измерений или установить границы искомого результата. Такой оценкой является доверительный интервал.

Если известен закон распределения погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности ∆, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называется доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

Принимая во внимание, что за истинную оценку значения измеряемой величины Хи принимается среднее арифметическое Хср=Хи, необходимо убедиться в ее точности.

В качестве меры такой точности принимается симметричный интервал (-∆г, ∆г), в которой с заданной вероятностью Рд располагается ошибка оценки ∆х=Хср-Хи:

Это выражение принято записывать в следующей форме:

Означающей, что истинное значение измеряемой величины Хи с вероятностью Рд попадает в интервал (Хср-∆г, Хср+∆г).

Интервал (Хср-∆г, Хср+∆г) шириной 2∆г и вероятностью Рд называется доверительным.

В доверительном интервале 2∆г, погрешности ±∆г называют доверительными границами случайной погрешности результата измерения.

При этом и

Называются нижней и верхней границами доверительного интервала. Эти границы принято указывать симметричными относительно результата измерения, но может быть и несимметричный доверительный интервал.

В метрологии оценка случайных погрешностей с помощью доверительного интервала называется интервальной, а собственно доверительный интервал определяется главным образом с использованием квантильных оценок случайных погрешностей.

Как уже отмечалось площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения вероятности, по условиям нормирования равна единицы. Если эту площадь разделить вертикальными линиями на части, то абсциссы таких линий будут называться квантилями.

Под Р-процентным (Р – символ вероятности) квантилем ∆р принято понимать абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения р(∆) равна Р%.

Квантиль – это значение случайной величины (у нас погрешности измерений) ∆х с заданной доверительной вероятностью Рд.

На рисунке абсцисса Хн есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой р(∆) слева от нее (т.е. от -∞ до ∆Хн составляет 25% всей площади.) Абсцисса ∆Хв соответствует 75%-ной квантили.

Между ∆Хн и ∆Хв содержится 50%всех возможных значений случайной погрешности измерений ∆Х (результатов различных измерений). Протяженность квантиля d записывается в этом случае в виде:

Интервал значений случайной погрешности ∆Х между ∆Хн0,05 и ∆Хв0,95 охватывает 90% всех ее возможных значений и называется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью. Протяженность интерквантильного промежутка определяется:

Принято половину доверительного интервала от ∆Хн до ∆Хв, равного (2∆г)/2=∆г устанавливать кратным tσх и принимать за оценку случайной погрешности результата измерений (где σх – среднее квадратическое отклонение, t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и формы закона распределения).

В таком случае доверительные границы случайной погрешности могут быть найдены по формуле:

Нормирование метрологических характеристик средств измерений.

Классы точности средств измерений.

Пределы допускаемой основной погрешности средств измерений.

Для обеспечения единства измерений и взаимозаменяемости средств измерений их метрологические характеристики нормируются и регламентируются.

Для этого используются нормированные значения погрешности, при этом считается, что такие погрешности являются предельными для заданного типа средств измерений.

Метрологические характеристики нормируются для нормальных условий применения средств измерений.

Нормальные – это такие, при которых изменением метрологических характеристик при других влияниях можно пренебречь.

Для большинства типов средств измерений нормальные условия:

Напряжение питающей сети (220±4,4)В;

Частота сети (50±0,5)Гц.

Одной из важнейших метрологических характеристик является погрешность средств измерения – инструментальная погрешность (точность) измерения.

Инструментальная погрешность при нормальных условиях – называется основной. Нарушение нормальных условий может привести к дополнительной погрешности. Информации о возможной инструментальной погрешности дается указанием класса точности средства измерения.

Класс точности – это обобщенная характеристика точности средств измерений, определяемая пределами допускаемой основной погрешности (это максимальная основная погрешность, при котором средство разрешено к применению).

При этом пределы допускаемых погрешностей нормируют и выражают в форме абсолютных (∆), приведенных (γ) или относительных (δ) погрешностей.

Основное различие в способах нормирования обусловлено разным соотношением аддитивной и мультипликативной составляющей средств измерений.

Причинами возникновения аддитивной (суммируемой с измеряемой величиной) составляющей погрешности могут быть неточность установки на нуль перед измерением, наличие термоЭДС и др.

Причинами возникновения мультипликативной (умножаемой на измеряемую величину) составляющей погрешности могут быть изменения коэффициента усиления усилителя, коэффициента передачи измерительного преобразователя и др.

Виды погрешностей, где:

∆ - абсолютная погрешность

Х – значения измеряемой величины.

При чисто мультипликативной погрешности абсолютная погрешность ∆ возрастает прямо пропорционально текущему значению Х измеряемой величины.

При этом относительная погрешность оказывается постоянной величиной при любом значении Х.

σ удобно использовать для нормирования погрешностей масштабных преобразователей (делители напряжения, шунты и т.д.).

При чисто аддитивной погрешности абсолютная погрешность ∆ остается неизменной для любых значений Х (∆=∆0=const), в том числе и при Х=0.

Но нормировать абсолютное значение не всегда удобно, поэтому на практике нормируют приведенное (γ) значение

Чаще всего Хn принимается равным верхнему диапазону измерения (Хn= Хk).

Значение γ, выраженное в процентах, используется для обозначения класса точности средств измерения с аддитивной погрешностью.

В общем виде приведенное значение γ, определяющее пределы допускаемой приведенной основной погрешности, устанавливают по формуле:

Зависимость относительной погрешности δ при аддитивной составляющей погрешности.

Как видно из графика зависимости текущее значение относительной погрешности γ=∆0/Х растет обратно пропорционально Х и изменяется по гиперболе.

Дп – полный диапазон значений измеряемой величины для любого преобразователя ограничивается снизу порогом чувствительности, а сверху – пределом измерений.

Др – рабочий диапазон ограничивают снизу таким значением Х3, при котором относительная погрешность не превосходит некоторого заранее заданного значения γ3 (например 4, 10, 20%).

Т. о. формулы для выражения основной погрешности следующие:

1. Абсолютная:

(При аддитивной погрешности)

(При аддитивной + мультипликативной)

2. Приведенная

3. Относительная

4. Относительная

Для средств измерений, пределы допускаемых основных погрешностей которых выражают в виде относительных или приведенных погрешностей стандартом установлен следующий ряд чисел для выражения пределов допускаемых погрешностей и применяемых для обозначения классов точности:

Выражение 4) требует введение обеих чисел – с и d, которые выбираются из указанного ряда для p и q и выражают как с/d (в процентах, разделяют косой чертой, например, 0,05/0,02).

Примеры обозначения классов точности.

Формула выражения основной погрешности	Пределы допускаемой основной погрешности	Обозначение класса точности
		В документах	На приборе
Абсолютная Δ=Δ0=±а Δ=±(а+bх)	±а ±(а+bx)	L M	L M
Приведенная γ= (Δ /Хn)*100%= =±р	γ=±1,5	1,5	1,5
Относительная δ=(Δ/Х)*100%= =±q	δ=±0,5	0,5	0,5
Относительная δ=±[с+d(|Хк/Х|- -1)]	δ=±0,02/0,01	c/d=0,02/0,01	0,02/0,01

Измерение напряжений и силы тока.

Эти измерения в электрических цепях относят к наиболее распространенным видам измерений.

Преобладающее значение имеет измерение напряжений, так как чаще всего этой величиной характеризуются режимы работы различных электронных и микроэлектронных устройств.

К тому же, при измерении напряжения не приходится размыкать цепь и нарушать в ней электрические процессы, т.к. измерители напряжения (вольтметры) подключаются параллельно измеряемой цепи и имеют достаточно большое входное сопротивление.

Измерение тока с помощью амперметров требует размыкания исследуемой цепи, что в ряде случаев нарушает исследуемый процесс.

Основная задача измерения постоянных напряжений и тока заключаются в нахождении их значений и полярности.

Целью измерения переменных напряжений и токов является определение какого-либо ихпараметра.

Так как напряжение и ток связаны по закону Ома линейной зависимостью, чаще измеряют напряжение и по его значению аналитически определяют ток:

Современные методы и средства измерений позволяют измерять напряжение в диапазоне … В и ток - … А. Часто такие измерения должны проводиться в широкой полосе частот – от постоянного тока до СВЧ, что во многих случаях требует уникальных методов измерений.

Измерение параметров переменного напряжения – сложная метрологическая задача, когда необходимо учитывать частоту и форму кривой измеряемого сигнала.

Переменный ток (напряжение) промышленной частоты имеет синусоидальную форму:

И его мгновенное значение u(t) характеризуется: амплитудой Um, круговой частотой ω, начальной фазой φ.

Уровень переменного напряжения может быть определен по нескольким значениям:

1. амплитудному;

2. среднему квадратическому («среднеквадратическое», «действующее», «эффективное»);

3. среднему (постоянной составляющей);

4. средневыпрямленному.

Мгновенные значения параметров u(t) визуально наблюдают на экране осциллографа или другого индикаторного устройства и определяют в каждый момент времени.

1. Амплитуда (высота, иногда – «пиковое значение» - устаревш.)

Um – наибольшее мгновенное значение напряжения за время наблюдения или за период.

2. Среднее квадратическое значение напряжения, определяется как корень квадратный из среднего квадрата мгновенного значения напряжения за время наблюдения или за период:

Если периодический сигнал несинусоидален, то квадрат среднего квадратического значения равен сумме квадратов постоянной составляющей и средних квадратических значений гармоник:

3. Среднее значение (постоянная составляющая) напряжения равно среднему арифметическому всех мгновенных значений за период:

4. Средневыпрямленное напряжение определяется как среднее арифметическое абсолютных мгновенных значений за период

Для напряжений одной полярности:

Для гармонического сигнала:

(для 2-х полупериодов)

(для 1-го полупериода)

Наиболее часто измеряют среднее квадратическое значение напряжения, т.к. этот параметр связан с мощностью, нагревом, потерями.

Однако, проще измерить амплитудное и средневыпрямленное значение и произвести пересчет с помощью коэффициентов амплитуды Ка и формы Кф

Для синусоидальной (гармонической) формы переменного напряжения:

Значения этих коэффициентов для наиболее используемых в радиоэлектронике видов сигналов приводятся в таблице.

Форма сигнала	Параметры сигнала
Амплитуда	Среднее выпрямл. значение	Среднее квадратическое значение	Коэффициенты формы	Коэффициенты амплитуды
Um			Кф=U/Uср.в.	Ка= Um/U
		2/πUm= =0,637Um		0,707Um/ /0,637Um= =1,11	Um/0,707Um= =1,414
		Um	Um
		Um/2= =0,5Um		0,577Um/0,5Um= =1,155	Um/0,577Um= =1,733

Основные типы приборов, измеряющих напряжения и ток.

Напряжение и ток измеряют приборами непосредственной оценки или приборами, использующими метод сравнения (компенсаторами).

По структурному построению эти приборы условно можно разделить на три основных типа:

- электромеханические;

- электронные аналоговые;

- цифровые.

Электромеханические приборы.

Эти приборы были первыми (в хронологическом смысле) и теперь применяются все реже. Однако, приборы этих систем часто входят в состав других, более сложных средств измерения.

По физическому принципу и конструкции эти приборы являются аналоговыми. Их показания являются непрерывной функцией измеряемой величины.

Положительные свойства: просты по устройству и в эксплуатации, обладают высокой надежностью, при переменном токе реагируют на среднее квадратическое значение напряжения. Последнее свойство дает возможность измерения наиболее информативных параметров сигнала без методических ошибок.

Структурная схема электромеханического прибора имеет вид:

Измерительная схема – это совокупность сопротивлений, индуктивностей, емкостей и других элементов – обеспечивает количественное и качественное преобразование входной величины Х в электрическую величину Х’, на которую реагирует измерительный механизм, который преобразует Х’ в механическое угловое или линейное перемещение α, значение которого отражается на шкале отсчетного устройства, которое имеет градуировку в единицах измеряемой величины N(X).

Электромеханические приборы классифицируются по типу измерительного механизма, что и определяет тип измерительной системы:

- магнитоэлектрическая;

- электромагнитная;

- электродинамическая;

- электростатическая;

- ферродинамическая;

- индукционная.

В измерительном механизме любой из систем электромагнитная энергия преобразуется в механическую энергию в основном углового перемещения.

Для того, чтобы угол отклонения α однозначно зависел от измеряемой величины, в измерительном механизме создается противодействующий момент Мпр, направленный навстречу вращающему моменту Мвр и зависящий от угла поворота.

При динамическом равновесии, когда:

Каждому определенному значению измеряемой величины будет соответствовать определенный угол поворота подвижной части.

Противодействующий момент может быть двух видов: механический (пружина) и электрический (в логометрах). (см. таблицу)

Электромеханические приборы.

Таблица.

Наименование системы, Функциональная схема	Уравнение шкалы	Условное обозначение Электромеханических Приборов
Магнитоэлектрическая   1- рамка с измеряемым током и стрелкой 2- неподвижный сердечник 3- полюсные наконечники 4- возвратная пружина	α=Iψ0/W ψ0=BSω В- индукция в зазоре S- площадь рамки ω- число витков рамки W- удельный противодействующий момент пружины	Подвижная рамка Подвижной магнит Логометры
Электромагнитная	Где L - индуктивность катушки	Логометр
Электродинамическая	α=1/W*I1*I2cosθ*(dM/dα) θ- угол между токами М- коэффициент взаимной индукции катушек	Ферродинам. Логометр
Электростатическая	С- емкость между пластинами

Магнитоэлектрическая система – в этой системе измерительный механизм состоит из проволочной рамки с протекающим в ней током, помещенной в поле постоянного магнита (магнитопровода). Поле в зазоре обеспечивается равномерным. Под воздействием тока I через рамку, она поворачивается в магнитном поле. Угол поворота рамки (а значит и указателя относительно шкалы) ограничивают специальной пружиной

Передаточная функция (часто называемая уравнением шкалы) линейна:

, где ψ0 – удельное потокосцепление, определяемое параметрами рамки и магнитной индукции;

W – противодействующий момент, создаваемый специальной пружиной;

В – индукция;

S – площадь рамки;

ω – число витков рамки.

На основе этой системы созданы вольтметры, амперметры и миллиамперметры. Имеют достаточно высокую точность, сравнительно малое потребление энергии из измерительной цепи, высокую чувствительность. Работа – только на постоянном токе.

Особую группу этой системы составляют высокочувствительные измерители тока гальванометры (нуль индикаторы, указатели равновесия, схемы сравнения). Шкала – условная, класс точности не нормируется.

Основные показатели – чувствительность к току или напряжению и сопротивление рамки.

Чувствительность Si ≈ мм/А (например).

Диапазон измерений токов (÷)А и напряжение до В.

Электромагнитная система – принцип основан на взаимодействии катушки с ферромагнитным сердечником, который втягивается при любой полярности протекающего в ней тока. Это обусловлено тем, что ферромагнетик располагается в магнитном поле катушки так, что усиливает поле. Поэтому такая система может работать на переменном токе, на низких частотах (до 5 кГц), т.к. с ростом частицы возрастает индуктивное сопротивление катушки.

Достоинства: простота конструкции, стойкость к перегрузкам, возможность градуировки на постоянном токе, возможны работы и на переменном токе, показания не зависят от формы тока.

Недостатки: большое потребление энергии (до 6 Вт), низкая точность, малая чувствительность, сильное влияние магнитных полей.

На практике: I – от долей ампера до 200 А; U – от долей вольта – до сотен В.

Электродинамическая система – измерительный механизм содержит два вида измерительных катушек: подвижную и неподвижную. Неподвижных катушек – две, соединенные последовательно. Если логометр, то подвижных катушек тоже две. Принцип действие основан на взаимодействии электромагнитных полей катушек в соответствии с формулой:

Где: I1 – ток через неподвижную катушку;

I2 – ток через подвижную катушку;

Q – фазовый сдвиг между синусоидальными катушками;

М – коэффициент взаимной индукции.

На основе таких систем вольтметры, амперметры, ваттметры.

Достоинство – высокая точность на переменном токе. Другие показатели аналогичны электромагнитным.

Используются как образцовые – приведенная погрешность 0,1 ÷ 0,2 %.

Электростатическая система – принцип действия основан на взаимодействии электрически заряженных проводников, один из которых является неподвижным.

Применяются две конструкции электрических приборов.

Первая конструкция.

Под действием разности потенциалов подвижная пластина 1 (или несколько пластин) стремятся втянуться между неподвижными пластинами 2, при этом изменяется активная площадь взаимодействии пластин.

Для увеличения чувствительности применяется световой указатель (зеркальце 3), который непосредственно кренится на подвижной части 5.

Растяжки 4 создают противодействующий момент.

Такая конструкция применяется для измерения сравнительно низких напряжений – до единиц киловольт.

Вторая конструкция.

В ней разность потенциалов между пластинами изменяет расстояние между ними, что через систему передаточных механизмов фиксируется стрелочным указателем.

Применяется для измерения высоких напряжений – до сотен киловольт (киловольтметры).

Достоинства:

- широкий диапазон частот;

- возможность измерения, как переменных, так и постоянных напряжений (измеряется действующее значение напряжения);

- возможность измерения напряжений любой формы;

- очень малое потребление мощности от измеряемой цели;

- отсутствие влияний магнитных полей.

Недостатки:

- малая чувствительность;

- сильное влияние электростатических полей.

Учитывая достоинства магнитоэлектрических приборов (высокая чувствительность, высокая точность) возможность применения их измерения параметров переменных электрических сигналов (вместо электромагнитных и электродинамических, имеющих низкую рабочую частоту < 5 кГц, и электростатических, имеющих низкую чувствительность).

Дата добавления: 2013-12-13