Законы сохранения энергии механической системы

Рассматривая замкнутую систему, можем записать

Складывая почленно эти уравнения, получим

Законы сохранения

Импульс механической системы. Закон сохранения количества движения механической системы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п тел, масса и скорость которых соответственно равны т ₁, т ₂,..., m _n и v ₁, v ₂,..., v _n. Пусть F' — равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, а F — равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из п тел механической системы:

..............................

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то следует

,

(3.1)

Таким образом производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

F₁ + F₂ +... + F_n = 0.

Таким образом следует аналитическое соотношение:

или

,

т.е.

(3.2)

Выражение (3.2) и является законом сохранения количества движения: количество движения замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон справедлив не только в рамках классической механики. Он является фундаментальным законом природы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п тел, масса и скорость которых соответственно равны т ₁, т ₂,..., m _n и v₁, v₂,..., v_n. Пусть F' — равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, а F — равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из п тел механической системы:

..............................

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dx ₁, dx ₂ ,..., dx _n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее пере­мещение и, учитывая, что dx ₁ = v ₁ dt, получим

.........................................

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т. е.

F ₁ + F ₂ +...+F _n = 0,

получим

,

,

где dW^к есть бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы, а - бесконечно малая работа всех действующих в системе консервативных внутренних сил, взятая с обратным знаком, т. е., бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dW ^п.

Дата добавления: 2013-12-13