Лекция 5. (Окончание) Геометрические тела

Лекция 5.

Комплексные задачи

Это задачи, в которых к искомому элементу предъявляется несколько геометрических требований, например:

Задача 3.1. Найти отрезок, проходящий через заданную точку и параллельный двум плоскостям.

Здесь два геометрических условия, каждое из которых приводит к геометрическому множеству. Ответ находится как общий элемент геом. множеств. Показать макет из файла. Записать алгоритм.

Схема решения комплексных задач включает три этапа:

Анализ – определение геометрических множеств, которым должен принадлежать искомый элемент.

Исследование – выявление искомого элемента, как общего элемента геометрических множеств и определение существования и количества возможных решений.

Алгоритм – последовательность действий по нахождению решения.

Показать макеты задачи 3.2 и 3.4. Объяснить. Анализ, исследование, алгоритм.

Задача 3.2. Найти отрезок, проходящий через заданную точку и перес. Две заданные прямые. Показать макет из файла. Записать алгоритм.

Задача 3.3. Найти отрезок, проходящий через заданную точку и перпендикулярный двум заданным прямым. Показать макет из файла. Записать алгоритм.

Автоматизированный коллоквиум для решения задач

Загрузить, пароль, содержание задач, инструкция по загрузке – на практике.

Показать задачи 1,2,3, 7.

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

В AutoCAD'е возможны три варианта построения пирамиды:

1. правильная пирамида – командой Pyramid (ПИРАМИДА)
2. неправильная пирамида – командой Loft (ПОСЕЧЕНИЯМ), причем вершина задается маркером точки и рассматривается как вырожденное сечение;
3. построить призму и отсечь лишние объемы командой Slice (Разрез) – это старый вариант построения неправильной пирамиды.

Построить пирамиду по зад. 4.1. Можно воспользоваться файлом 4_1_а.dwg.

Точка на грани пирамиды строится как точка на плоскости с помощью вспомогательной прямой. Привести пример.

Сечение тел плоскостью выполняется командой Section (СЕЧЕНИЕ). Секущую плоскость задают либо тремя точками, либо как плоскость ХУ текущей ПСК, предварительно установленной по трем точкам. Командой Plane (План) можно построить истинный вид сечения. Можно определить площадь сечения, периметр, центр тяжести и др. характеристики.

Пример. Задача 4.3, а (файл лекции 8). Построить сечение пирамиды плоскостью, задав ее двумя отрезками пересекающихся прямых. В одном из видовых окон получить истинный вид сечения ПСК по трем точкам. Определить площадь и периметр сечения.

Конус вращения

Варианты построения конуса:

1. командой Cone;
2. вращением треугольника;
3. эллиптический конус, имеющий в основании эллипс, можно построить командой Cone или Loft (ПОСЕЧЕНИЯМ).

Точка на поверхности конуса строится как точка его образующей или параллели - окружности. Привести пример.

Коники – сечения конуса плоскостью

Построить сечения. Можно на основе файла 4_1_б.dwg.

Окружность – плоскость перпенд. оси конуса; Это объект Circle.

Треугольник – плоскость проходит через вершину конуса. Стороны треугольника являются образующими конуса.

Эллипс – секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Построить эллипс как сечение проецирующей плоскостью. Вытянуть сечения для осмотра и исследования. В AutoCAD'е – это объект Ellipse.

Задача 4.3, б из одноименного файла.

Построить эллипс и найти его точки фокуса:

1. Построить оси эллипса как отрезки прямых с привязкой Quadrant;
2. Построить окружность радиусом, равным большой полуоси.
3. Переместить окружность, совместив ее центр с кон. точкой малой оси.
4. Точки фокусов находятся на пересечении окружности с большой осью.

Парабола – секущая плоскость параллельна одной образующей конуса. Построить параболу.

Гипербола – секущая плоскость параллельна двум образующим конуса. Построить гиперболу с асимптотами.

Цилиндр вращения

Создается командами Cylinder – цилиндр вращения, Extrrude – вращения и эллиптический цилиндры.

Задача 4.3, в. Построить цилиндр по условиям задачи. Центр задать как 0,0 МСК

Сечения цилиндра

1. Сечение, параллельное оси – прямоугольник, построить.
2. Сечение, пересекающее ось, – эллипс.

Задать плоскость по задаче 4.3, в, построить сечение, показать, что это эллипс.

Сфера

Построить сферу. Ортогональная проекция сферы – окружность.

Загадка: "на виде спереди – окружность, на виде слева – окружность, но не сфера. Что это?". Объявить конкурс на правильное решение.

Точки на сфере находятся по принадлежности к окружности.

Сечение сферы плоскостью – всегда окружность. Она может быть видна как окружность, как эллипс, как прямая. Построить сечение фронтально-проецирующей плоскостью. Показать истинный вид. Измерить радиус. Показать эллипс – как профильную проекцию сечения. Сделать проекцию командой Solprof и проверить (List), что получен эллипс в проекции.

Тор как результат вращения окружности вокруг прямой, расположенной в ее плоскости, но не являющейся ее диаметром.

Виды тора:

1. тор-кольцо или открытый тор;
2. закрытый или самопересекающийся тор (нет отверстия);
3. глобоид – внутренняя поверхность тора-кольца;
4. веретено.

Файл: Классификация тора.dwg. Построить тор-кольцо, глобоид, веретено.

Сечения тора на примере тора-кольца.

Круговые сечения. Рассечь тор плоскостью перпенд. оси и плоскостью, проходящей через ось.

Кривые Персея – сечения, параллельные оси тора. Названы в честь древнегреч. геометра Персея (2 в. до н. а..). К ним относятся:

Овалы Кассини. Кривая была придумана астрономом Джовани Кассини (1625 —1712). Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна. Кассини-Гюйгенс (англ. Cassini–Huygens) — автоматический космический аппарат, созданный совместно НАСА, Европейским космическим агентством и Итальянским космическим агентством, в настоящее время исследующий планету Сатурн, кольца и спутники.

Лемниската Бернулли. Ее автор - швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската» - бантик.

Лемниската Бута названа в честь английского математика Бута Джеймса (1810 -1878), который ее изучил.

Дата добавления: 2013-12-14