Проверка простой гипотезы против простой альтернативы

Проверка гипотез

Лекция 3

Пусть есть два состояния возможных природы S={s ₀, s ₁ }. Рассматриваются две простые (то есть такие, которые нельзя представить в виде совокупности других гипотез) гипотезы:

H ₀― основная гипотеза (S=s ₀ ),

H ₁― конкурирующая гипотеза (S=s ₁ ).

Тогда множество возможных решений D={d ₀, d ₁ }:

d ₀― гипотеза H ₀ считается истинной, а гипотеза H ₁ считается ложной,

d ₁― гипотеза H ₁ считается истинной, а гипотеза H ₀ считается ложной.

Пусть в результате эксперимента e может быть получен результат x, причеммножество возможных результатов эксперимента X={x ₀, x ₁ }.

Пусть известны априорные вероятности P(s ₀ )=q, P(s ₁ )=p и условные вероятности P(x ₀ /s ₀ ,e)=P(x ₀ /s ₀ ), P(x ₁ /s ₀, e)=P(x ₁ /s ₀ ), P(x ₀ / s ₁ ,e)=P(x ₀ /s ₁ ), P(x ₁ /s ₁ ,e)= P(x ₁ /s ₁ ).

Определим вероятности правильных и ошибочных решений, если принимается решение d ₀ / гипотеза H ₀, когда X=x ₀ и принимается решение d ₁ / гипотеза H ₁, когда X=x ₁.

Условная вероятность ошибки 1-ого рода или уровень значимости:

(3.1.1)

Тогда

(3.1.2)

Условная вероятность ошибки 2-ого рода:

(3.1.3)

Соответственно, мощность правила выбора решения

(3.1.4)

Полные вероятности случайных событий P(D=d ₀ ) и P(D=d ₁ ) можно вычислить с помощью формулы полной вероятности, если известны априорные вероятности состояний природы или истинности рассматриваемых гипотез P(s ₀ )= P(H ₀ )=q и P(s ₁ )=P(H ₁ )=p.

(3.1.5)

(3.1.6)

В примере 2.1 q= P(H ₀ )=P(s ₀ )= 0.6 и p=P(H ₁ )=P(s ₁ )= 0.4.

При эксперименте e ₁

α=P(d ₁ /H ₀ ,e ₁ )=P(x ₁ /s ₀ ,e ₁ )= 0.2, 1- α=P(d ₀ /H ₀ ,e ₁ )=P(x ₀ /s ₀ ,e ₁ )= 0.8,

β=P(d ₀ /H ₁ ,e ₁ )=P(x ₀ /s ₁ ,e ₁ )= 0.3, 1- β=P(d ₁ /H ₁ ,e ₁ )=P(x ₁ /s ₁ ,e ₁ )= 0.7,

P(d ₀ /e ₁ )=P(H ₀ ) P(d ₀ /H ₀ ,e ₁ )+P(H ₁ ) P(d ₀ /H ₁ ,e ₁ )= 0.6(1-0.2)+0.4 0.3=0.6,

P(d ₁ /e ₁ )=P(H ₀ ) P(d ₁ /H ₀ ,e ₁ )+P(H ₁ ) P(d ₁ /H ₁ ,e ₁ )= 0.6 0.2+0.4(1-0.3)=0.4,

а при эксперименте e ₂

α=P(d ₁ /H ₀ ,e ₂ )=P(x ₁ /s ₀ ,e ₂ )= 0.1, 1- α=P(d ₀ /H ₀ ,e ₂ )=P(x ₀ /s ₀ ,e ₂ )= 0.9,

β=P(d ₀ /H ₁ ,e ₂ )=P(x ₀ /s ₁ ,e ₂ )= 0.25, 1- β=P(d ₁ /H ₁ ,e ₂ )=P(x ₁ /s ₁ ,e ₂ )= 0.75,

P(d ₀ /e ₂ )=P(H ₀ ) P(d ₀ /H ₀ ,e ₂ )+P(H ₁ ) P(d ₀ /H ₁ ,e ₂ )= 0.6(1-0.1)+0.4 0.25=0.64,

P(d ₁ /e ₂ )=P(H ₀ ) P(d ₁ /H ₀ ,e ₂ )+P(H ₁ ) P(d ₁ /H ₁ ,e ₂ )= 0.6 0.1+0.4(1-0.25)=0.36.

Пусть теперь в результате эксперимента e может быть получен результат (x ₁,…, x_n), который можно рассматривать как совокупность случайных величин.

Пусть известны априорные вероятности P(s ₀ )=P(H ₀ )=q, P(s ₁ )=P(H ₁ )=p и условные плотности распределения вероятностей f(x ₁,…, x_n/s ₀ )=f(x ₁,…, x_n/H ₀ ), f(x ₁,…, x_n/s ₁ )=f(x ₁,…, x_n/H ₁ ).

Множество возможных решений D={d ₀, d ₁ }:

d ₀― гипотеза H ₀ считается истинной, то есть результат эксперимента (x ₁,…, x_n), который мы далее будем называть выборкой, соответствует (принадлежит) распределению f(x ₁,…, x_n/s ₀ )=f(x ₁,…, x_n/H ₀ ),

d ₁― гипотеза H ₁ считается истинной, то есть результат эксперимента (x ₁,…, x_n), соответствует распределению f(x ₁,…, x_n/s ₁ )=f(x ₁,…, x_n/H ₁ ).

Обозначим ― область возможных значений выборок в n- мерном пространстве,

Пусть гипотеза H ₀ считается истинной, когда , и пусть, соответственно, гипотеза H ₁ считается истинной, когда .

Тогда условная вероятность ошибки 1-ого рода (уровень значимости)

(3.1.7)

Соответственно

(3.1.8)

Условная вероятность ошибки 2-ого рода

(3.1.9)

Соответственно, мощность правила выбора решения

(3.1.10)

Рассмотрим различные критерии принятия решения. Для этого введемфункцию потерь.

	d 0	d 1
H 0/ s 0	u 00 =u(H 0 ,d 0 )	u 01 =u(H 0 ,d 1 )
H 1/ s 1	u 10 =u(H 1 ,d 0 )	u 11 =u(H 1 ,d 1 )

Очевидно, что потери, соответствующие правильным решениям, будут минимальными u(H ₀ ,d ₀ )<u(H ₀ ,d ₁ ), u(H ₁ ,d ₁ )<u(H ₁ ,d ₀ ).

Средний риск:

(3.1.11)

Бейесов риск:

(3.1.12)

Поскольку q> 0, p> 0, u ₀₁ -u ₀₀ > 0, u ₁₀ -u ₁₁ > 0, f(x ₁,…, x_n/H ₀ )> 0, f(x ₁,…, x_n/H ₁ )> 0, необходимо, чтобы для всех , когда принимается решение d ₁ и истинной по критерию минимального среднего риска признается гипотеза H ₁, выполнялось условие

(3.1.13)

или

(3.1.14)

В противном случае принимается решение d ₀ и истинной признается гипотеза H ₀.

Здесь

(3.1.15)

называется отношением правдоподобия для выборки, а

(3.1.16)

называется обобщенным отношением правдоподобия.

Апостериорные вероятности рассматриваемых гипотез можно определить с помощью формулы Бейеса и соответствующих элементов вероятности

(3.1.17)

(3.1.18)

Принимается решение d ₁ и истинной по критерию максимальной апостериорной вероятности признается гипотеза H ₁, если выполняется условие

(3.1.19)

или

(3.1.20)

В противном случае принимается решение d ₀ и истинной признается гипотеза H ₀.

В случае, когда априорные вероятности гипотез неизвестны, принимается решение d ₁ и истинной по критерию максимальной функции правдоподобия признается гипотеза H ₁, если выполняется условие

(3.1.21)

или

(3.1.22)

В противном случае принимается решение d ₀ и истинной признается гипотеза H ₀.

Дата добавления: 2013-12-13