Парабола

Криві другого порядку

Лекція 7

1. Парабола. Її найпростіші рівняння. Дослідження форми параболи за її рівнянням;

2. Паралельне зміщення системи координат;

3. Рівняння кривих другого порядку в довільній системі координат.

Означення. Параболою називається геометричне місце точок, відстань яких від фіксованої точки площини, що називається фокусом, дорівнює відстані від фіксованої прямої, що називається директрисою.

Нехай точка F є фокус, а пряма L – директриса параболи.

Введемо на площині ДСК.

Для цього проведемо пряму x, що проходить через F та перпендикулярна L.

Відстань LF поділимо навпіл та проведемо пряму y, перетином x та y є точка О.

Позначимо відстань фокуса і директриси через P, тоді координати F(;0).

Нехай M(x;y) – довільна точка площини, тоді за означенням |FM| = |M₁M|, M₁(;0).

y² = 2px (1) – канонічне рівняння параболи, де p – параметр, завжди > 0.

1) Знайдемо вершину

X = 0; y = 0 O(0;0) – вершина.

2) OX – вісь симетрії, центра симетрії немає.

3) З рівняння (1): y = ±, x≥0, тобто вона визначена при x≥0 для будь-яких y.

4) Якщо x->∞, то y->∞

Висновок. Парабола розміщена по один бік від осі OY, початком координат э вершина параболи, графіком є лінія.

y² = 2px y² = -2px y² = 2py y² = -2py

Означення. Множина точок для яких відстань ексцинтреситету, відстань від фокусу і до відповідної директриси є const, буде:

- еліпсом якщо E є (0;1)

- параболою якщо E = 1

- гіперболою якщо E > 1

- колом якщо E = 0

Рівняння кривих в полярній системі координат має вид r =, де p – параметр.

Загальне рівняння кривих має вид:

Ax²+Cy²+2Bx+2Ky+F=0 (2)

При цьому зміщується центр еліпса, гіперболи, параболи з початку координат в довільний центр з координатами (x₀,y₀)

O(0;0) -> O₁(x₀;y₀)

Для переведення системи координат з ДСК XOY в ДСК X₁O₁Y₁ необхідно, щоб центри кривих, вершини параболи знаходилися у початку нової системи координат, тобто нехай (x0;y0) координати нової системи; (x;y) – координати старої системи, а (X;Y) координати нової системи, тоді рівність (3) пов’язує стару систему з новою:

x = x₀+X

y = y₀+Y

Рівння (2) після спрощення набуває вид:

= 1 - (4) рівняння еліпса;

= ±1 - (5) рівняння гіперболи;

(y-y₀)² = ±2p(x-x₀) - (6)

Рівняння параболи.

(x-x₀)² = ±2p(y-y₀) - (7)

x’

y

Приклад. З’ясувати геометричне міссце точок та виконати побудову:

4x²-8x-y+7 = 0

x’

4(x²-2x)-y+7=0

4(x²-2x·1+1²-1²)-y+7 = 0

4(x-1)²-4-y+7=0

x

4(x-1)² = y-3

(x-1)² = (y-3)

2p =; p =

O1(1;3)

Дата добавления: 2013-12-14