Теорій масового обслуговування

При аналізі економічних систем часто зустрічається специфічний клас завдань, що відносяться до масового обслуговування. Спочатку методи теорії масового обслуговування використовувалися для вирішення тільки питань зв'язку, а потім були поширені на побутове обслуговування, військову справу, охорону здоров'я, дослідження динаміки функціонування достатньо складних систем, технологічних потоків ремонту, контролю і інших виробничих процесів.

Система масового обслуговування характеризується структурою, яка визначається складом і функціональними зв'язками. Вона складається з наступних елементів: вхідний потік вимог, черга вимог, чекаючих обслуговування, прилади (канали) обслуговування і потік вимог, що виходить.

Ця схема може бути ускладнена, якщо система складається з ряду послідовних приладів, з ряду послідовно і паралельно зв'язаних приладів або має ще складнішу мережеву структуру. Загальною особливістю всіх завдань, пов'язаних з масовим обслуговуванням, є випадковий характер досліджуваних явищ. Кількість вимог на обслуговування і тимчасові інтервали між їх надходженнями, тривалість обслуговування вимог випадкові. Час перебування вимог в деяких видах систем масового обслуговування також випадково.

Вхідним потоком є сукупність вимог, які поступають в систему і потребують обслуговування. Процес надходження в систему масового обслуговування потоку вимог є імовірнісним і представляє потік подій, які наступають через випадкові проміжки часу. Прикладами вхідних потоків можуть бути потік інформації, що поступає на обробку в ЕОМ; поділа, що направляються в організацію, хворі, що поступають в лікарню, і так далі. По числу каналів обслуговування системи діляться на одноканальних і багатоканальних. Прикладом одноканальної системи може служити одиночний пункт відділу технічного контролю (ОТК) на потоці, перукарня з одним майстром і тому подібне Звичайне число каналів в багатоканальних системах обмежено, хоча іноді їх буває так багато, що вигідніше для аналізу ці системи вважати такими, що мають нескінченне число каналів. Разом з тим і багатоканальні системи можуть складатися з однакових і різних каналів і відрізнятися продуктивністю при обслуговуванні.

Для оцінки якості роботи систем масового обслуговування приймаються критерії хорошої організації обслуговування (задоволення заявок), завантаженості каналів (чи не створюється велика черга, чи не великий відхід з системи необслужених вимог і так далі). Системи можуть бути неполнодоступными і повнодоступними залежно від того, чи можливо для кожної вимоги поступити на обслуговування будь-якого каналу системи.

Вимоги потоку можуть бути обслужені приладами системи і не обслужені. Потік, що виходить, - потік вимог, що покидають систему. Дослідження структури потоку, що виходить, має велике значення, оскільки він може бути вхідним потоком для іншої групи приладів. Розподілите вимог в потоці, що виходить, в часі залежить від щільності вхідного потоку і характеристик роботи приладів обслуговування системи.

Основним завданням масового обслуговування є визначення кількісних показників функціонування 'систем масового обслуговування і їх залежності від параметрів вхідного потоку і структури самої системи. Рішення цієї задачі дає можливість знайти в системі слабкі ланки, визначити їх вплив на ефективність обслуговування і знайти шляхи їх поліпшення або при заданих характеристиках потоку вимог і критеріїв якості обслуговування дати пропозиції про структуру системи, яка забезпечить поставлені перед нею завдання. Для цього на другому етапі можуть бути привернуті різні методи оптимізації: лінійне і нелінійне програмування, динамічне програмування, теорія ігор і ін.

Потік вимог, що поступає на вхід системи масового обслуговування, можна вважати потоком випадкових подій, оскільки моменти надходження вимог заздалегідь невідомі. Випадкові тимчасові інтервали між надходженнями подій в потоці можуть підкорятися різним законам розподілу. Проте в переважній більшості робіт по теорії масового обслуговування розглядається пуассоновский (простий) потік, в якому вірогідність надходження k вимог в проміжок часу t задається формулою Пуассона

де λ > 0— щільність потоку; λt = а -математическое очікування числа подій ш ділянці t [15, 16].

Цепояснюється тим, що для інших видів потоків важко отримати аналітичні залежності для кількісної оцінки якості функціонування систем масового обслуговування. Разом з тим показано в роботі [17],що у ряді випадківрозрахунок системи в припущенні пуассоновского характеру вхідного потоку дає оцінки ефективності з «запасом», якщо насправді потік має інший характер. Нарешті, простий шток в теорії масового обслуговування грає таку ж роль, як нормальний закон розподілу випадкових величин втеорії вірогідності. При складанні великого числа мало інтенсивних випадкових потоків утворюється сумарний потік, близький по своїх характеристиках до

простого. Простий потік володіє трьома основними властивостями: стаціонарністю, ординарністю і відсутністю післядії.

Потік подій називається стаціонарним, якщо вірогідність попадання якогось числа подій на певну ділянку часу залежить тільки, від довжини цієї ділянки і не залежить від того, де на осі часу розташована дана ділянка. Для стаціонарного потоку характерна незалежність імовірнісних характеристик від часу, він має постійну щільність (середнє число вимог в одиницю часу).

Потік подій називається ординарним, якщо вірогідність попадання на елементарну ділянку Δ t два і більш за події є величина більшого порядку трохи в порівнянні з вірогідністю попадання однієї події на цю ділянку. Таким чином, ординарність потоку вимог означає практичну неможливість появи два і більш за вимоги в один і той же момент часу.

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких ділянок часу, що не перекриваються, число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на інших. Це означає, що вимоги поступають в систему незалежно один від одного.

Важливою характеристикою потоку є його інтенсивність, яка визначається як математичне очікування числа вимог, що поступають на одиницю часу. Оскільки математичне очікування числа вимог, що поступають за проміжок часу t, складає

то інтенсивність (що виходить при t = 1) визначається як М₁ (k)=λ.

У багатьох завданнях припущення про стаціонарність потоку свідомо помилково. Такі потоки називаються нестаціонарними простими потоками. Для цих потоків практичні завдання вирішуються за допомогою моделювання системи масового обслуговування на аналогових або цифрових ЕОМ. Для наближених розрахунків слідує весь інтервал часу розбити на періоди, в межах яких можна припустити з деякою погрішністю стаціонарність потоку.

Поширеною математичною моделлю для аналізу ряду систем масового обслуговування більш загальною, ніж простий потік, є рекурентний вхідний потік. Рекурентним називається будь-який потік, в якому інтервали часу між послідовними подіями є незалежними. Для розгляду таких потоків при моделюванні реальних систем масового обслуговування необхідно досліджувати на незалежність тимчасові інтервали між вимогами. При цьому можна скористатися визначенням вибіркового коефіцієнта кореляції:

де тимчасові проміжки між послідовними вимогами, що поступають, в систему масового обслуговування; - вибіркове середнє величин .

Якщо величина r багато менше одиниці, то випадкові величини можна вважати взаємно незалежними.

У аналіз реальних потоків повинна також входити оцінка параметрів і розподілу вхідного потоку. Для цього вибирається період часу, протягом якого потік є практично стаціонарним. Даний відрізок делитгея на ряд тимчасових інтервалів, в межах яких підраховуються вимоги, що поступили, і будується гістограма частот. За допомогою будь-якого критерію згоди (наприклад, x²) отриманий статистичекое розподіл порівнюється з теоретичним. Як приклад розглянемо перевірку гіпотези про пуассоновском розподіл вхідного потоку.

Спостережуваний період часу розділимо на 100 двохвилинних інтервалів, в кожному з яких визначимо число події. Після цього згрупуємо інтервали з однаковим числом подій. Результати приведені в табл. 2.3.

Таблиця 2.3

Число подій ai у інтервалі u=2хв	Число інтервалів з однаковим числом подій ni	Пуассонiвський розподіл	Математичне очікування числа інтервалів пT	Число подій ai у інтервалі u=2хв	Число інтервалів з однаковим числом подій пi	Пуассонiвський розподіл	Математичне очікування числа інтервалів пT
		0,010				0,050	5,0
		0,046	4,6			0,026	2,6
		0,106	10,6			0,012	1,2
		0,163	16,3			0,005	0,5
		0,187	18,7			0,002	0,2
		0,172	17,2			0,002	0,2
		0,132	13,2	Сумма		1.000	100,0
		0,087	8,7

Визначимо математичне очікування числа подій протягом інтервалу t = 2 хв:

За значенням = 4,6 в гр. 3 вносимо вірогідність числа подій при пуассонівскому розподілі, а в гр. 4-математичне очікування числа інтервалів, протягом якого відбулося число подій. Розглянемо величину

Для оцінки відповідності отриманого експериментального розподілу теоретичному скористаємося таблицями розподілу з числом мір свободи, рівним 12 (числу інтервалів без двох). З таблиць розподілу визначаємо вірогідність Р того, що експериментальний розподіл є пуассонівским: Р0,99. Це говорить про відповідність експериментального розподілу пуассонівскому.

Найбільш широкого поширення набула класифікація систем масового обслуговування за часом перебування вимог в системі до початку обслуговування. При цьому всі системи розбиваються на три групи; з відмовами, з необмеженим часом очікування і змішаного типу.

Вимога, що поступає в систему з відмовами, у разі зайнятості каналів обслуговування покидає її. Класичним прикладом систем з відмовами може служити робота автоматичної телефонної станції. У системах з необмеженим часом очікування вимог вимога, що поступила, вимушена чекати своєї черги, поки не звільниться один з каналів. Ці системи мають широке застосування з практиці. Системи змішаного типу обмежують час перебування вимоги в черзі, після чого необслужена вимога покидає систему. Прикладом такої системи можуть служити пункти переробки і продажу фруктів, овочів, які можуть зберігатися обмежений час. Також може бути обмежене час на перебування вимоги в системі, обмежена довжина черги. Системи можуть розрізнятися і по порядку обслуговування вимог, що поступили в них, тобто в строгому порядку, випадково і так далі.

Найважливішою характеристикою кожного каналу обслуговування системи є час обслуговування, що визначає пропускну спроможність системи. Як правило, час обслуговування є випадковим величиною, оскільки завжди має місце нестабільність роботи приладів обслуговування, неідентичність вимог, що поступають в систему. Повною характеристикою цієї випадкової величини є закон розподілу

де - вірогідність того, що час обслуговування не перевершує деякої величини t.

Вважається, що F(t)= 0 при t ≤ 0. Закон розподілу часу обслуговування визначається з досвіду шляхом статистичних методів аналізу чисельних значень часу обслуговування реальних систем. Оцінки розподілу часу обслуговування реальних систем нічим не відрізняються від оцінок вхідного потоку. Закони розподілу можуть бути самого різного вигляду, але як в практичних, так і в теоретичних дослідженнях найбільшого поширення набув показовий закон. Це пов'язано з тим, що при показовому законі розподілу значно спрощуються всі результати, а для довільного закону розподілу часу розробка методів вирішення завдань масового обслуговування зустрічає великі труднощі.

При показовому законі функція розподілу має вигляд

де = 1/>0, - середній час обслуговування вимоги, математичне очікування часу обслуговування.

Показовий закон часу обслуговування припускає, що значна частка вимог обслуговуватиметься швидко. Це не завжди відповідає практиці, тому А. К. Ерланг запропонував щільність розподілу часу обслуговування задавати формулою

Можна показати, що φ_k(t) є щільністю розподілу суми k незалежних випадкових величин з показовим законом розподілу.

Велике значення має дослідження характеристик потоку, що виходить, особливо якщо він сам є вхідним потоком для інших систем, розташованих послідовно з попередньою. Для таких систем часто виникає питання про вплив наявності післядії в потоці вимог на вірогідність відмови, оскільки якщо вхідний потік є простим, то потік, що виходить, з цієї системи не завжди буде простим, йому властиво післядія.

Під ефективністю обслуговуючої системи розуміють характеристику рівня виконання цією системою тих функцій, для яких вона призначена. Вибір показника ефективності залежить від того завдання, яке поставлене перед дослідженням.

Зазвичай при вирішенні економічних завдань потрібно досягти екстремального значення деякого критерію (функції вартості), визначуваного для різних конкретних умов. При дослідженні роботи систем масового обслуговування зазвичай мінімізуються витрати із-за простою і очікування, втрати унаслідок відходу вимоги без обслуговування; визначається доцільність збільшення числа каналів. Математичні методи теорії масового обслуговування дають можливість знайти середнє число вимог, що знаходяться в системі (у черзі), середнє число необслужених вимог, середній час очікування, вірогідність відмови, вірогідність того, що довжина черги не перевищить задану, і так далі Всі пропоновані показники характеризують здібність системи до обслуговування вимог, зовсім не визначаючи якості самого обслуговування.

Найбільш часто вживані показники ефективності функціонування Систем масового обслуговування [18] наступні.

1. Вірогідність втрати вимоги в системі масового обслуговування р_отк. Стосовно систем масового обслуговування без накопичувача ця характеристика рівна вірогідності р_п зайнятості обслуговуванням вимог всіх п приладів системи.

2 Вірогідність р_k того, що обслуговуванням вимог в системі зайнято k приладів. Це якнайповніша характеристика, окремим випадком якої є р_п (р₀ – вірогідність того, що всі прилади вільні).

3. Середнє число зайнятих приладів (каналів, ліній), що характеризує ступінь завантаження обслуговуваної системи,

де р_k - вірогідність того, що в системі знаходиться k вимог.

4. Середнє число вільних від обслуговування приладів

5. Коефіцієнт простою приладів (каналів, ліній) системи обслуговування як похідний від показника N ₀: k _пр = N ₀/ n.

6. Коефіцієнт зайнятості устаткування, приладів, системи k _з = N _з/ n.

7. Закон розподілу часу очікування в черзі для систем з очікуванням, тобто . На практиці найчастіше обмежуються визначенням середнього часу очікування в черзі:

8. Середня довжина черги для систем з очікуванням

9. Середнє число вимог (заявок), що знаходяться у сфері обслуговування:

10. Вірогідність того, що число вимог (заявок) в системі, чекаючих початку обслуговування, більше деякого числа

Цей показник особливо необхідний при оцінці можливостей розміщення вимог при обмеженості часу для очікування.

Окрім перерахованих критеріїв при оцінці ефективності систем масового обслуговування можуть бути використані вартісні показники: q _0б- вартість обслуговування кожної вимоги в системі; q _ож- вартість втрат, пов'язаних з простоєм вимог в черзі в одиницю часу; вартість збитків, пов'язаних з відходом з системи необслужених вимог; q_y - вартість експлуатації кожного приладу системи в одиницю часу; q_{п. к} - вартість одиниці часу простою приладу системи.

При виборі оптимальних параметрів систем масового обслуговування за економічними показниками часто використовується функція вартості втрат в системі:

де T -інтервал часу.

У інших випадках можуть бути вибрані інші критерії. Так, при вирішенні деяких завдань доцільно користуватися критерієм економічної ефективності системи масового обслуговування

де - ймовірність обслуговування вимоги (заявки); с - економічний ефект, отриманий при обслуговуванні кожної вимоги.

Розглянемо одноканальну систему з очікуванням і показовим часом обслуговування, на вхід якої поступає простий потік вимог [14]. Покажемо, як в цьому випадку визначити функцію вартості втрат G _п. Очевидно, що в цьому випадку п= 1, N ₀ рівно вірогідності того, що в системі немає жодної вимоги.

Стан системи в деякий момент часу визначається числом вимог, що знаходяться в ній k. Позначимо через А_k стан, при якому в системі знаходяться k вимог; у інтервалі (t, t + Δ t), де Δ t малe, можуть відбутися наступні переходи:

де k ≥ 1.

Такий перехід, як наприклад, , матиме вірогідність другого порядку трохи в порівнянні з Δ t.

Хай р_к(t) - вірогідність стану А_k у момент t; λΔ t - вірогідність надходження вимоги в інтервалі Δ t; μΔ t - вірогідність закінчення обслуговування в цьому інтервалі.

В цьому випадку (при k ≥ 1) маємо

Зміни стану

Вірогідність переходу

Матриця переходу з точністю до Δ t має вигляд

Якщо покласти р (t) = [ p₀(t), p₁(t), …, p_k(t) ], тоді рівняння станів системи буде p (t+ Δ t) = р(t)F.

Звідси p (t+ Δ t) =(1-λΔ t)p₀(t) + μΔ t p₁(t); p_k (t+ Δ t) = λΔ tp_k-1 (t) +(1 – λΔ t)p_k(t) + μΔ t p_k+1(t), k ≥ 0.

Розділивши отримані вирази на Δ t, наблизивши Δ t до нуля, отримаємо диференціальні рівняння станів системи масового обслуговування:

(2.22)

Початкові умови записуються у вигляді і , .

Вирішення системи рівнянь (2.22) за заданих початкових умов в загальному вигляді досить громіздко. Припустимо, що при режим в системі встановлюється і все р_k = const. Тоді для них справедливі рівняння

з яких виходить

В той же час

тому

або

(2.23)

Позначивши , отримаємо.

(2.24)

Для збіжності (2.23) необхідно, щоб < 1. Відомо, що цю ж умову забезпечує існування самого сталого режиму. Величина називається коефіцієнтом використання системи. У приведеному виводі не бере участь початкове число вимог , що знаходяться в системі. Тому при зроблених припущеннях сталий режим не залежить від початкових умов.

Вірогідність того, що випадкова величина N, що є числом вимог в системі, перевершить k, обчислюється за формулою

B частковості, вірогідність того, що в системі є хоч би одна вимога, складе

Цей же результат можна отримати і з виразу (2.24). Середнє число вимог в системі

Середня довжина черги

З урахуванням цього можна записати

оскільки N₀ = р₀ = 1 — ψ.

Таким чином, знаючи витрати, пов'язані з очікуванням, простоєм і обслуговуванням, можна для даного потоку визначити витрати в конкретній системі масового обслуговування за певний інтервал часу.

Змінивши число каналів і, параметр обслуговування μ, технічну надійність системи, можна набути екстремального значення вибраного критерію в конкретних умовах. Хай є ремонтна майстерня при якій-небудь лабораторії, поновлююча інструменти, що вийшли з ладу, прилади і так далі.Припустимо, що потік вимог (несправних одиниць) простий, а час обслуговування показовий. Хай в середньому за робочий день поступають 28 несправних одиниць, середній час обслуговування = 12 хв, = 0,5 руб/ч на кожну вимогу = 1 руб/ч.

Маємо також λ= 28/7 = 4 вимог/год; μ = 1/= 1/0,2= 5 вимог/год, тобто ψ = λ/μ = 4/5 = 0,8. Отже, М_ож = ψ²/(1 — ψ) = 0,82/0,2 = 3,2. Отже, середня довжина черги складає 3,2 вимог, вірогідність простою складе р₀ = 1 — ψ = 0,2. Витрати за місяць будуть G_П = (0,5 • 3,2 + + 1-0,2)7 · 25 = 315 р.

Визначимо, як змінюються витрати, пов'язані з очікуванням і простоєм після технологічного переобладнання майстерні, в результаті якого середній час обслуговування скоротився на 2,4 хв, тобто знайдемо змінене М _ож= Р ₀:

Отже, витрати знизилися на 152 р. в місяць.

Аналітичні методи, використовувані в теорії масового обслуговування, дають можливість досліджувати велике число теоретичних завдань, багато хто з яких часто зустрічається па практиці. Проте прикладні завдання нерідко виявляються набагато складнішими. У них розглядаються послідовні і паралельні з'єднання систем, нестаціонарні процеси, детерміновані або імовірнісні зворотні зв'язки і так далі У таких випадках доцільно досліджувати системи масового обслуговування за допомогою моделювання. Дуже часто на практиці застосовується метод статистичних випробувань.

Не слід протиставляти аналітичні методи методам моделювання, вони розвиваються спільно або часто зв'язані один з одним. Так, моделювання може спиратися на математичну модель, а експеримент часто дозволяє удосконалити математичну модель процесу. Це має місце як для масового обслуговування, так і для дослідження інших фізичних явищ і процесів. Методи моделювання набули широкого поширення з появою ЕОМ, що мають високу продуктивність і що володіють великим об'ємом оперативної пам'яті, і стали необхідними для дослідження практичних завдань.

3.5. Імітаційне моделювання стохаоичних дискретних процесiв

Імітаційне моделювання широко використовують на різних ета­пах життєвого циклу складної системи: під час проектування — для реалізації параметричного і структурного синтезу, проведення багатоваріантного аналізу; під мас введення в дію для пошуку "вузьких" місць; в період експлуатації — для прогнозування пове­дінки, а також ефекту від можливих варіантів модернізації складо­вої системи. Суть методу імітаційного моделювання полягає в побудові так званої імітаційної моделі досліджуваного об'єкта і в цілеспрямованому експериментуванні з такою моделлю для отри­мання відповідей на ті чи інші запитання. Для здійснення іміта­ційного моделювання можна вибирані найрізноманітніші засоби — від електронних аналогових і цифрових обчислювальних комплексів до аркуша паперу і олівця. Однак коли йдеться про імітаційне моделювання, як правило, розуміють метод, що орієнтований на використання ЕОМ. Це обумовлено тією обставиною, що метод імітаційного моделювання найповніше проявляє свої можливості, коли використовуються саме цифрові обчислювальні машини. В літературі метод імітаційного моделювання зустрічається також під назвою методу цифрового, програмного, статистичного, імовір­нісного, автоматного або динамічного моделювання і методу машинної імітації.

Метод імітаційного моделювання нагадує собою експеримен­тальний метод дослідження об'єктів. Імітаційна модель тут піддається таким самим впливам, як і реальний об'єкт хоча й умовно. Висліди моделювання обробляються і тлумачаться так, ніби вони були даним натурних випробувань. Для дослідження імітаційної моделі можна використовувати добре розвинуті методи планування експериментів та обробки експериментальних даних.

Саме експериментальний характер методу імітаційного моде­лювання обумовлений такі, що імітаційна модель не дає можлива.

ратор взаємодіє з макетними зразками апаратно-програмної частинними інтерфейсу, об'єднаними моделями, що імітують поведінку середовища.

Найбільшого поширення для аналізу і синтезу систем з непе­рервно-дискретним характером функціонування набули моделі, що описуються методами теорії масового обслуговування (ТМО). Про методи ТМО вже йшлося в моделюванні дискретних вироб­ничих процесів (3.4) і діяльності людини-оператора (5.3).

Для побудови моделі системи взаємодії методами ТМО необ­хідно провести низку підготовчих робіт:

1) виявити в системі елементи, що виконують роль апарату обслуговування;

2) визначити характер і параметри вхідного потоку, тобто параметри послідовності замовлень на обслуговування від зовнішнього середовища;

3) визначити характер і параметри кожного пристрою обслу­говування, що входить до складу системи;

4) визначити можливість утворення черг замовлень на обслу­говування і характер дисципліни обслуговування черги;

5) визначити порядок проходження замовлень через пристрої обслуговування, тобто сформувати структуру системи масового обслуговування (CMО). В багатьох випадках вона буде стохастичною мережею CM О;

6) оформити отриману модель графічно і визначити клас СМО, до якого належить побудована модель.

Ці роботи однаково необхідні як для побудови аналітичних, так і імітаційних моделей системи взаємодії. Математичні залеж­ності, що описують процес функціонування моделі СМО, отри­мують в такій послідовності.

Складають певний перелік станів системи s. У довільний момент часу система може знаходитися тільки в одному із станів, які визначаються числом замовлень у системі j,- є s.

Визначають напрям переходу СМО від одного стану до іншо­го і навпаки. Будують граф станів системи і розмічають його. Для цього кожній вершині зі станом Sj ПРИПИСУЮТЬ ІМОВІРНІСТЬ Pj(f)

знаходження системи в цьому стані в момент, а кожній дузі, що з'єднує вершину S/ з вершиною Sj, — інтенсивність потоку λij переходів систем від стану S/ ДО Sj.

Складають диференціальні рівняння відносно ймовірностей />,{/) за розміченим графом станів, їх має бути стільки, скільки існує станів СМО. В лівій частині кожного рівняння ставиться похідна ймовірності стану, а в правій частині — стільки членів, скільки дуг зв’язано з вершиною даного стану. Кожен член у правій частині дорівнює добуткові інтенсивності потоку пере­ходів, що відповідає певній дузі, помноженій на ймовірність того стану, з якого вона виходить. Якщо дуга напрямлена від розглядуваної вершини, то відповідний член має знак мінус, якщо до вершини — знак плюс.

Отримана таким чином система диференціальних рівнянь доповнюється нормувальним рівнянням

, (5.42)

де т — кількість можливих станів СМО — s_m.

Розв'язуючи систему рівнянь, визначають імовірності Pj(f), a за ними — технічні характеристики модельованої системи взаємодії.

В багатьох випадках процес функціонування досліджуваних стохастичних систем має властивості ергатичності. СМО як модель таких АСК характеризується наявністю усталеного режиму в процесі роботи, а для усталеного режиму величини ймовірностей станів P,{f) не залежать від часу ґ

(5.43)

і похідні від них за часом дорівнюють нулю. Такі ймовірності називають у ТМО фінальними. Тоді поведінка СМО описується системою звичайних алгебраїчних рівнянь вигляду:

(5.44)

або

(5.45)

Рівняння такого типу для фінальних ймовірностей складають­ся за графом стану СМО за простим правилом рівноваги між можливими станами системи і параметрами вхідних потоків та їх обслуговування. Суть рівноваги станів СМО можна сформулювати для аналізованого стану s/ так: сума добутків інтенсивностей пото­ків Kg, що приводять систему до нього від усіх суміжних станів Sj, на ймовірності цих станів дорівнює добуткові ймовірності pj аналізованого стану Sj на суму інтенсивностей усіх потоків, що

виводять з нього.

Як приклад застосування методів ТМО розглянемо модель функціонування системи висмаж,групи операторів з апаратно-програмним комплексом (АПК) АСК [ІЗ]. Завдання для роботи ЛИК формують п операторів. АПК обробляє ці завдання і передає на засоби відображення інформацію, яку вимагає оператор. Після освоєння отриманої інформації оператор формує нове завдання для АПК (рис.5.8,а). Процес іде безперервно — оператори формують управлінські рішення.

Рис. 5.8. Схема взаємодії операторів з АПК (а) і граф станів системи (6)

Кожний оператор на сприйняття інформації, підготовку зали ту до АПК та введення його витрачає в середньому час т_оп. Завдання в цей час знаходиться в пультовій фазі. Кожний опе­ратор задає системі лише одне завдання. Тому інтенсивність пото­ку завдань від одного оператора становить X = і/т_оп.

Одне завдання обробляється в АПК в середньому протягом В цей час завдання перебуває в системній фазі. Стан системи взаємодії визначається числом завдань, що знаходяться в систем­ній фазі. Для п операторів у системній фазі маємо (п + 1) станів системи.

Розглянемо граф переходів (рис.5.8,6) і визначимо інтенсив­ності потоків переходів У кожний момент часу / завдань знахо­дяться в системній фазі, (п -І) — в пультовій. Інтенсивність потоку переходів від стану J, до стану л/^-І спричиняють (п - і) операторів, тому вона становить

(5,46)

Інтенсивність зворотного переходу µ=1/τобс. Розмітивши останніми даними граф станів і переконавшись, що процес функціонування системи ергодичний, запишемо на підставі (5.45) рівняння фінальних ймовірностей для стану s0:

, (5.47)

для стану s1:

,

для стану Si:

(5.49)

Для стану Sn:

(5.50)

Доповнивши цю систему нормувальним рівнянням (5.42)

(5.51)

Знаходимо фінальні ймовірності :

, 0<i<M (5.52)

, (5.53)

M – джерел навантаження

Де s=λ/µ - коефіцієнт відношення фаз.

Знання ймовірностей станів дає змогу визначити низку технічних величин, що характеризують ефективність функціону­вання системи керування в цих умовах. Так, абсолютна пропускна здатність системи взаємодії визначається числом завдань, що розв'язуються в системі за одиницю часу. АПК зайнятий оброби кою запитів з імовірністю

pзан=1-p0. (5.54)

Коли він працює, то обробляє ц завдань за одиницю часу. Тому абсолютна пропускна здатність АПК становить

A= (1-p0)µ. (5.55)

Можна визначити середній час відгуку АПК на запит оператора. с відгуку ajjk на запит опера­тора. Кожний оператор, що знаходиться в пультовій фазі, генерує поїж замовлень з інтенсивністю X. 0 нашій CM О в середньому

в пультовій фазі знаходиться (п - 5) операторів, а в системній __

в середньому со операторів. Середній потік замовлень до АГТК мас інтенсивність (я - S) X. Всі ці замовлення АПК обслуговує.

Тоді

, (5.56)

Звідки

, (5.57)

а середній час відгуку

Знання рі дає змогу обґрунтували технічні вимоги до пара­метрів АПК, виходячи з умов їх якісного функціонування.

Побудова аналітичних моделей системи взаємодії майже заводи пов'язана з низкою істотних обмежень, що значно знижує адекватність моделі відносно реальної системи, Крім цього, не завжди вдається побудувати чи аналітичне дослідити навіть такі наближені моделі. В такому випадку доводиться використовувати методи імітаційного моделювання.

5.7. Оцінка надійності АСК

Завдання розподілу функцій між операторами і технічними засобами АСК, крім основного критерію — ймовірності досяг­нення поставленої перед системою мети, — враховувати й інші критерії: вартість, потужність, простоту технічного обслуговуван­ня, надійність та ін. Оцінити надійність можна аналітичне, експериментально або імітаційним моделюванням. На етапах проекту­вання переважають розрахункові методи, які базуються на статис­тичних даних про надійність технічних засобів, вплив різних факторів на надійність ергатичних систем, взаємний вплив опе­ратора і техніки, про частоту переходів АСК до різних станів.

Для розв'язування різних завдань інженерно-психологічного проектування розроблена низка проблемно-орієнтовних кількіс­них методів оцінки надійності АСК. Основні з них: узагальнено-структурний, операційно - психологічний, статистичного еталона системотехнічний.

Узагальнений структурний метод об'єднує сукупність матема­тичних моделей і методик для опису та оцінки ефективності, якості і надійності функціонування ергатичних систем або окре­мих їх ланок (як людини, так і технічних пристроїв).

Для опису ергатичних систем вводяться три типи елементів: функціональні елементи, що реалізують певні операції; компози­ційні, що виконують логіко - функціональний взаємозв'язок між операторами без будь-яких витрат ресурсів; керуючі елементи, які керують функціональними та композиційними елементами.

Загальну методику поділяють на методику підготовки мате­матичних моделей і методику розрахунку. Перша полягає в аналізі досліджуваної ергатичної системи, в результаті якого виявляються типові функціональні структури (ТФС). Для ТФС, що не мають готових математичних моделей, вони створюються за розглянути­ми вище правилами.

Відповідно до методики обчислення показників спочатку уточнюється варіант об'єкта оцінки, тобто чи,лише надійність функціонування, чи продуктивність і надійність функціонування. Залежно від вибраного варіанта врахування структурних і функціональних відмов та наявності або відсутності контролю працездатності і функціонування обчислюють початкові показни­ки для кожної функції, представленої у функціональній мережі у вигляді ТФС.

На підставі початкових кількісних характеристик обчисляють показники надійності функціонування у відповідності з прийня­тим варіантом об'єкта оцінки шляхом поступового "згортання" функціональної мережі, що складається з ТФС у вигляді /^ структур.

Недоліки розглянутого методу: 1) слабо враховується евристичний характер діяльності оператора та взаємозалежності окре­мих дій; 2) не враховується динаміка зміни режимів з плином часу.

Операційно-психофізіологічний метод (ОПФ-метод) базується на розбитті діяльності оператора на окремі дії (операції), надій­ність виконання яких та їх психофізіологічна напруженість відомі, і наступному інтегруванні їх у єдиний процес.

Діяльність оператора розкладається на операції отримання первинної інформації; перетворення, обробки і прийняття рішен­ня; дії у відповідь. Кожну операцію у свою чергу поділяють на типові дії, кількісні показники надійності яких відомі.

Оцінка надійності ОПФ-методом здійснюється поетапно. Спочатку з алгоритму розв'язання завдання виділяють блиски, що виконуються з участю оператора. Шляхом аналізу ці блоки ділять

Якщо задані вектор пріоритету або ваговий вектор то для вибору оптимального варіанта можна використати принцип "гнучкого пріоритету". Тоді розв'язок оцінюється за зваженим векторним критерієм, де замість компонентів вектора критеріїв використовують компоненти вектора - В цьому випадку можна застосувати всі розглянуті тут принципи вибору варіанта в області компромісів зі зміною на

Дата добавления: 2013-12-14