Поняття неперервності функції

Неперервність функції

Лекція 9

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо

Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності функції в точці можна зобразити так:

Звідси випливає, що для неперервності функції в точці мають виконуватися такі умови:

а) точка х = х ₀ належить області визначення функції тобто існує;

б) деякий окіл точки х = х ₀ входить до області визначення функції, наприклад

в) границя при дорівнює значенню функції в точці х = х ₀, тобто дорівнює.

Позначимо через приріст аргументу, а через — приріст функції (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу при, тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо односторонні границі функції зліва й справа в цій точці існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто:

Означення. Функція називається неперервною на проміжку, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

Таким чином, поняття неперервності функції у точці задається чотирма, хоч і рівноправними, але різними за формулюванням означеннями. Використання конкретного означення неперервності функції в точці визначається специфікою задачі.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Область визначення функції

Візьмемо довільне надамо приросту тоді приріст функції буде

Розглянемо

Дамо необхідні пояснення: при — н.м.в.; — величина обмежена отже, добуток є н.м.в.

Таким чином, з

Звідси функція неперервна тобто на всій області визначення.

Дата добавления: 2013-12-14