Постановка задачи оптимального управления

Задача управления (ЗУ) в отличие от других математических задач обладает следующей особенностью. Она допускает не одно, а множество различных решений. Поэтому при решении ЗУ всегда возникает пробле­ма выбора из множества возможных способов достижения цели такого, который, с определенной точки зрения, является наилучшим. Математи­ческое выражение этой точки зрения называется критерием качества управления. Наиболее предпочтительным, или оптимальным, способом управления считается такой, при котором критерий качества управления достигает минимального или максимального (в зависимости от его физи­ческого смысла) значения. Физическим смыслом критерия могут быть затраты (денег, материалов, электроэнергии и т.п.) на достижение цели и тогда его нужно минимизировать. В других случаях физическим смыс­лом критерия может быть, например, прибыль или экономичность, и то­гда его нужно максимизировать.

Задачу нахождения оптимального управления следует считать не существующей, т.е. не вызывающей никаких проблем, если на характер движения объекта не наложено никаких ограничений. Так, проблемы погони за зайцем не существовало бы, если бы собака могла бы мгновен­но преодолеть расстояние, отделяющее ее от зайца. Однако это невоз­можно из-за ограниченных физических возможностей собаки. В общем случае имеются два вида ограничений на выбор способа управления.

Ограничениями первого вида являются законы, по которым происходит движение объекта. При математической формулировке задачи управле­ния эти ограничения представляются обычно алгебраическими, диффе­ренциальными или разностными уравнениями Их обычно называют уравнениями объекта управления.

Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, используемых при управлении, или иных величин, которые не могут или не должны превосходить при управле­нии некоторых пределов. Математически ограничения этого вида вы­ражаются обычно в виде систем алгебраических уравнений или нера­венств, связывающих переменные, описывающие состояние объекта.

Итак, задачу оптимального управления можно считать сформулиро­ванной, если соблюдать следующие условия:

1) сформулирована цель управления, выраженная через критерий каче­ства управления;

2) определены ограничения, ограничивающие возможные способы движения объекта и представляющие собой систему дифференци­альных, или разностных, уравнений;

3) определены ограничения, которые выражают ограниченность ресур­сов или иных величин, используемых при управлении, и которые представляют собой систему алгебраических уравнений или нера­венств.

Дата добавления: 2013-12-14