Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Малюнок 19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа





 

Властивості 1-7 доводяться за допомогою міркувань. Покажемо це на прикладі останньої властивості. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини, яка складається із впорядкованих пар, належить правій частині. Нехай пара (х;у)ÎА´(В\С). Згідно означення декартового добутку це означає, що хÎА і уÎВ\С. Якщо уÎВ\С, то за означенням різниці множин уÎВ і уÏС. Оскільки хÎА і уÎВ, то за означенням декартового добутку множин (х,у)ÎА´В. Оскільки хÎА і уÏС, то (х,у)ÏА´С. Якщо (х,у)ÎА´В і (х,у)ÏА´С, то згідно з означенням операції різниці множин (х,у)Î(А´В)\(А´С), тобто правій частині. Пару (х,у) у лівій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить лівій частині. Таким чином, множина А´(В\С) є підмножиною множини (А´В)\(А´С), тобто А´(В\С)Ì(А´В)\(А´С). Отже, першу частину доведено.

У другій частині доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай пара (а;в)Î(А´В)\(А´С). Згідно означення різниці, (а;в)Î(А´В) і (а;в)Ï(А´С). Звідси аÎА і вÏС. Якщо (а;в)Î(А´В), то за означенням декартового добутку множин аÎА і вÎВ. Оскільки вÎВ і вÏС, то за означенням різниці множин вÎВ\С. Якщо аÎА і вÎВ\С, то за означенням декартового добутку множин (а;в)ÎА´(В\С), тобто лівій частині. Пару (а;в) у правій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить правій частині. Таким чином, множина (А´В)\(А´С) є підмножиною множини А´(В\С), тобто (А´В)\(А´С)ÌА´(В\С). Отже, другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (А´(В\С))Ì((А´В)\(А´С)), а у другій – ((А´В)\(А´С))Ì(А´(В\С)). Звідси на основі означення рівності множин маємо рівність А´(В\С)=(А´В)\(А´С), тобто справедливість властивості доведено повністю.



Спробуємо знайти залежність, яка б допомогла шукати число елементів декартового добутку множин, якщо відомо число елементів вихідних множин. Нехай А={1, 2, 3} і В={а, в}. Утворимо множину А´В={(1;а ), (1;в), (2;в), (3;а), (3;в)}. Легко бачити, що n(А)=3, n(В)=2 і n(А´В)=6, тобто n(А´В)=n(А)·n(В). У математиці для загального випадку доведено теорему: „Число елементів декартового добутку множин А1, А2, А3, ... ,Ак, що мають відповідно n1, n2, n3,...,nk елементів дорівнює добутку чисельностей цих множин, тобто n(А1´А2´А3´…´Ак)=n(А1)n(А2)n(А3)…n(Ак)=n1,n2,n3, ..., nk”.

Як же визначити число елементів об’єднання двох скінченних множин? Для цього доведеться розглядати два випадки: 1) множини А і В не мають спільних множин, тобто АÇВ=Æ; 2) множини А і В мають спільні елементи, тобто АÇВ¹Æ. У першому випадку використовується формула n(АÈВ)=n(А)+n(В), а в другому - n(АÈВ)=n(А)+n(В)–n(АÈВ). Чи можна поширити ці формули на будь-яке число елементів? – математика дає на це ствердну відповідь, тобто справедлива формула: n(А1ÈА2ÈА3È...ÈАк)=n(А1)+n(А2)+n(А3)+...+n(Ак), коли множини попарно не перетинаються.

 

МОДУЛЬ 1: «Множини. Відповідності Відношення.».

Змістовний модуль1.2. «Відповідності та відношення.».

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 351; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.