Доведення. Виберемо в множині М={a1, a2, a3,,an} деяку k елементну підмножину А, де k≤n

Доведення.

Виберемо в множині М={a₁, a₂, a₃,...,a_n} деяку k елементну підмножину А, де k≤n. Оскільки множина А містить k елементів, то із елементів цієї множини можна утворити k! перестановок. Як відомо i розміщення, i комбiнацiї являють собою підмножини даної множини, тільки розміщення - це впорядковані підмножини. Тоді розміщень із даних k елементів можна утворити більше в стільки разів, скільки можна утворити перестановок із даних k елементів. Число розміщень позначається А_n^k, число комбінацій С_n^k, число перестановок Р_n. Отже, А_n^k=С_n^k•Р_n. Звідси С_n^k=А_n^k/Р_n. Підставляючи значення числа розміщень і перестановок, одержимо дві формули для обчислення числа комбінацій із даних n е лементів по k елементів: 1) С_n^k=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k); 2) С_n^k=n!/((n-k)!•k!). Теорему доведено.

Задача: скільки грошей потрібно витратити, щоб закупити таку кiлькiсть карточок спортлото 6 із 49, щоб, перебравши всі можливі комбiнацiї, точно вгадати 6 номерів.

Розв’язання.

У задачі мова йде про 49 елементну множину, із якої треба вибрати шестиелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, а тому нам потрібно обчислити число комбінацій із 49 елементів по 6, тобто С₄₉⁶=(49•(49-1)•(49-2)•(49-3)•(49-4)•(49-5))/(1•2•3•4•5•6)=(49•48•47•46•45•44)/(1•2•3•4•5•6)=13983816. Щоб визначити необхідну кількість грошей, слід 13983816 помножити на ціну однієї карточки.

Для того, щоб спростити обчислення числа комбінацій, використовують властивості комбінацій, які спрощують ці обчислення.

Властивість 1: якщо 0<k≤n, то С_n^k=С_n^n-k.

Для доведення цієї властивості використаємо формулу С_n^k=n!/((n-k)!•k!) i покажемо, що права частина властивості дорівнює лівій. С_n^n-k=n!/((n-k)!•(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!•(n-n+k)!)=n!/((n-k)!•k!)=С_n^k. Властивість доведено.

Цією формулою зручно користуватися, коли верхнє число більше половини нижнього, наприклад: С₁₀₀⁸⁰=С₁₀₀^100-80=С₁₀₀²⁰. Покажемо це на наступному прикладі: обчислити С₁₀₀⁹⁶=С₁₀₀^100-96=С₁₀₀⁴=(100•99•98•97)/(1•2•3•4)=3921225.

Властивість 2: якщо 0<k≤n, то для будь-яких k i n С_n^k=С_n-1^k+С_n-1^k-1.

Дата добавления: 2013-12-14