Доведення. Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій

Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій. С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1))!/(k!•(n-k-1)!)+((n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!). Зведемо ці два дроби до спільного знаменника, враховуючи, що (n-k)!=1•2•3•...•(n-k-1)•(n-k) i (n-k-1)!=1•2•3•...•(n-k-1). Верхній i нижній факторіали вiдрiзняються лише тільки одним множником - (n-k), так само k! i (k-1)! вiдрiзняються лише одним множником k, а тому спільним знаменником для двох дробів буде k!•(n-k)!, тоді маємо: С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1)!•k+(n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!•k)=((n-1)!(k+n-k))/(k!•(n-k)!)=((n-1)!•n)/(k!•(n-k)!)=n!/(k!•(n-k)!=С_n^k. Властивість доведено.

Остання доведена теорема лежить в основі побудови, так званого, трикутника Паскаля, який дає можливість обчислювати значення С_n^k, знаючи С_n-1^k і С_n-1^k-1. Цей трикутник представлено у наступній таблиці №2.

С0^0=1

С1^0=1

С1^1=1=1

С2^0=1

С2^1=2

С2^2=1

С3^0=1

С3^1=3

С3^2=3

С3^3=1

С4^0=1

С4^1=4

С4^2=6

С4^3=4

С4^4=1

С5^0=1

С5^1=5

С5^2=10

С5^3=10

С5^4=5

С5^5=1

С6^0=1

С6^1=6

С6^2=15

С6^3=20

С6^4=15

С6^5=6

С6^6=1

С7^0=1

С7^1=7

С7^2=21

С7^3=35

С7^4=35

С7^5=21

С7^6=7

С7^7=1

С8^0=1

С8^1=8

С8^2=28

С8^3=56

С8^4=70

С8^5=56

С8^6=28

С8^7=8

С8^8=1

Дата добавления: 2013-12-14