Малюнок № 4

Таблиця № 1. Види рівнянь прямої.

Виведемо формулу кута між двома прямими y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂ (див. малюнок № 4). Для цього пригадаємо, що кутовий коефіцієнт це тангенс кута нахилу прямої до осі абсцис. Із трикутника МНК видно, що , бо зовнішній кут трикутника МНК. Звідси . Отже, маємо: . Ця формула дозволяє знаходити кут між двома прямими, які задані своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

Якщо в загальному рівнянні прямої визначити у, то при В≠0 загальне рівняння прямої приймає вигляд . Якщо позначити - через , а через , то рівняння приймає вигляд , тобто матиме вигляд рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо , то рівняння буде мати вигляд Ах+С=0 або х=а, тобто має рівняння прямої, паралельної осі ординат. Якщо А=0, то маємо рівняння Вх+С=0 або у=b, тобто рівняння прямої, паралельної осі абсцис.

Запишемо умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих своїми загальними рівняннями. Нехай маємо дві прямі та . Якщо і , то , . Виходячи із умови паралельності прямих , маємо або –a₁b₂=-a₂b₁. Тоді умова паралельності запишеться так: a₁b₂-a₂b₁=0. Оскільки умова перпендикулярності прямих має вигляд k₁k₂=-1, то для прямих, які задані загальними рівняннями прямої, умова перпендикулярності матиме вигляд a₁а₂+b₁b₂=0.

Нехай задано дві прямі та . Якщо ці прямі перетинаються, то координати точки перетину задовольняють обидва рівняння, а це означає, що для знаходження точки перетину двох прямих потрібно розв’язати систему рівнянь: . Пропонуємо студентам самостійно розв’язати наступні вправи, використовуючи виведені раніше формули.

Вправа 1: Знайти точку перетину прямих та .

Вправа 2: Як розміщені прямі на площині? та .

Вправа 3: Записати рівняння прямої, яка проходить через точки , .

Вправа 4: Знайти тангенс кута між прямими та .

Дата добавления: 2013-12-14