Переход к новой аффинной системе координат

Деление отрезка в данном отношении

Определение. Пусть на прямой лежат направленный отрезок и произвольная точка М. Отношением, в котором эта точка делит данный отрезок, называется такое число λ, что:

(1)

Обозначение: λ=(AB,M)

А

M

B

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:

1) λ>0, точка М лежит внутри отрезка АВ,.

λ=1, М – середина отрезка АВ.

2) λ=0, - точка М совпадает с началом А отрезка АВ.

3) λ<0, точка М лежит вне отрезка АВ,.

А

M

B

Замечание: λ -1, т. к. в этом случае или и и, то есть.

Теорема. Если точка M(x;y) делит в отношении λ -1 направленный отрезок с началом А(х₁;у₁) и концом В(х₂;у₂), то

,. (2)

Доказательство. - согласно определению. Перейдем к координатам:,.

Из условия равенства векторов и имеем:

Теорема доказана.

Следствие. Если М – середина направленного отрезка, то λ=1 и

(3)

Рассмотрим две аффинные системы координат. Одну из них обозначим и назовем старой, другую обозначим и назовем ее новой.

Теорема. Пусть 1) начало координат и координатные векторы новой системы имеют в старой системе координаты:,,; 2) произвольная точка М имеет в старой системе координаты x, y, а в новой системе координаты. Тогда имеют место формулы:

, где. (*)

Доказательство.

x

y

СТАРАЯ СИСТЕМА НОВАЯ СИСТЕМА

КООРДИНАТ КООРДИНАТ

По определению координат точек и векторов имеем для старой системы координат:

; (1)

(2)

. (3)

Для новой системы координат аналогично имеем:

. (4)

Подставим выражения и из (2) в (4):

. (5)

По правилу треугольника имеем:

. (6)

Подставим в это равенство выражения (3), (1) и (5):

+++++.

Приведем подобные члены:

+ = +.

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то формулы (*) справедливы:

(*)

Теорема доказана.

Дата добавления: 2013-12-14