Вершины

Оси и центры

Исследование уравнения эллипса

Директрисы эллипса

Определение. Директрисами эллипса с уравнением (1)при условии (2) называются прямые, определяемые уравнениями:, где. Так как то.

Замечание. У окружности ε = 0 и директрис нет.

Теорема. Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к ее расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равна эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса, - расстояние от нее до ближайшей к фокусу директрисы:.

По замечанию 4 имеем:, тогда: или. Аналогично рассуждая получим, что.

Теорема доказана.

Пусть эллипс задан каноническим уравнением

, (1)

где, то есть.

Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса. Уравнение (1) содержит переменную во 2-ой степени, следовательно, при замене на уравнение (1) не изменится. Значит, точка М (-х; у) также лежит на эллипсе. Но эти точки симметричны относительно оси OY, тогда и весь эллипс симметричен относительно оси ординат.

Аналогично, уравнение (1) не изменится при замене y на –y, следовательно, эллипс симметричен относительно оси абсцисс.

Уравнение (1) не изменится также при одновременной замене x на –x и y на –y, следовательно, эллипс с уравнением (1) симметричен относительно начала координат.

Определение 1. Центр симметрии эллипса называется его центром, оси симметрии эллипса называются его осями; ось эллипса, на которой лежит его фокус, называется фокальной осью.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат:

1) C осью OX:

2) C осью OY:

Определение 2. Точки пересечения эллипса с осями координат (осями эллипса с уравнением (1)) называются его вершинами. Числа и, называются соответственно большой и малой полуосями.

Дата добавления: 2013-12-14