Расположение относительно осей. Исследование уравнения гиперболы

Вершины

Оси и центр

Исследование уравнения гиперболы

Пусть гипербола задана каноническим уравнением

, (1)

где с² = а²+b² . (2)

Как и в случае эллипса доказывается, что гипербола с уравнением (1) симметрична относительно осей координат и начала координат.

Определение 1. Центр симметрии гиперболы называется её центром, оси симметрии – осями. Ось гиперболы, на которой лежат её фокусы, называется фокальной осью.

1) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох:

A₁(a;0), A₂(-a;0).

2) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оy:

точек пересечения с осью Oy нет.

Определение 2. Точки пересечения гиперболы с её фокальной осью называются вершинами гиперболы; фокальная ось называется также действительной осью. Ось, с которой гипербола не пересекается называется мнимой осью. Числа a>0 и b>0 называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Исследуем гиперболу в первом квадрате (четверти) то есть при и

;

b²x²-a²y² = a²b²;

y =.

Если 0 < a, то и принимает мнимые значения (точек гиперболы нет).

Если а, то при возрастании возрастает и, начиная от нуля при. Дуги гиперболы в остальных квадрантах симметричны этой дуге относительно осей координат и начала координат.

Гипербола состоит из двух изолированных ветвей.

Замечание. Так как, то и директрисы не пересекают гиперболу.

4. Асимптоты (от греческого – несовпадающий, не касающийся)

Термин «асимптота» применительно к гиперболе приписывают Аполлонию Пергскому (III век до н.э.).

Рассмотрим прямую линию с уравнением, x > 0 и обозначим соответственно через M и N точки гиперболы и этой прямой, ….. общую абсциссу. Ординыты… этих точек обозначим через и, тогда имеем M(x;y_m), N(x;y_n­). Пусть для определённости эти точки находятся в первом квадрате.

tg α =.

Пусть MK, тогда MK – расстояние от точки M гиперболы до прямой. Из MNK имеем MK = MN cos α, так как NMK = α = KOA₁ (углы соответственно перпендикулярным сторонам). Тогда имеем Y_N = x, Y_M =, так как a x, то

x- >0 и Y_N > Y_M. Следовательно: NM = Y_N-Y_M = (x-).

Устраним абсциссу к бесконечности и рассмотрим предел:

=.

Но тогда и MK = MN cos α = cos α (x-) при стремится к нулю.

Таким образом, точка М при неограниченно приближается к прямой. Если же, то к прямой неограниченно приближается и другая ветвь гиперболы в третьем квадранте.

Так как гипербола симметрична относительно оси Oy, то этими же свойствами обладает и прямая с уравнением.

Определение 3. Две прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, нигде их не пересекая, называются асимптотами гиперболы.

OA₁ = a, A₁C₁ = b,. OC₁ = OF₁ = C, где с² = a² + b² = OC₁² = OF₁².

Дата добавления: 2013-12-14