Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Расположение относительно осей. Исследование уравнения гиперболы




Вершины

Оси и центр

Исследование уравнения гиперболы

Пусть гипербола задана каноническим уравнением

, (1)

где с2 = а2+b2 . (2)

Как и в случае эллипса доказывается, что гипербола с уравнением (1) симметрична относительно осей координат и начала координат.

Определение 1. Центр симметрии гиперболы называется её центром, оси симметрии – осями. Ось гиперболы, на которой лежат её фокусы, называется фокальной осью.

1) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох:

A1(a;0), A2(-a;0).

2) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оy:

точек пересечения с осью Oy нет.

Определение 2. Точки пересечения гиперболы с её фокальной осью называются вершинами гиперболы; фокальная ось называется также действительной осью. Ось, с которой гипербола не пересекается называется мнимой осью. Числа a>0 и b>0 называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Исследуем гиперболу в первом квадрате (четверти) то есть при и

;

b2x2-a2y2 = a2b2;

y =.

Если 0 < a, то и принимает мнимые значения (точек гиперболы нет).

Если а, то при возрастании возрастает и, начиная от нуля при. Дуги гиперболы в остальных квадрантах симметричны этой дуге относительно осей координат и начала координат.

Гипербола состоит из двух изолированных ветвей.

 

Замечание. Так как, то и директрисы не пересекают гиперболу.

4. Асимптоты (от греческого – несовпадающий, не касающийся)

Термин «асимптота» применительно к гиперболе приписывают Аполлонию Пергскому (III век до н.э.).

Рассмотрим прямую линию с уравнением, x > 0 и обозначим соответственно через M и N точки гиперболы и этой прямой, ….. общую абсциссу. Ординыты… этих точек обозначим через и, тогда имеем M(x;ym), N(x;yn­). Пусть для определённости эти точки находятся в первом квадрате.

 

tg α =.

Пусть MK, тогда MK – расстояние от точки M гиперболы до прямой. Из MNK имеем MK = MN cos α, так как NMK = α = KOA1 (углы соответственно перпендикулярным сторонам). Тогда имеем YN = x, YM =, так как a x, то

x- >0 и YN > YM. Следовательно: NM = YN-YM = (x-).

Устраним абсциссу к бесконечности и рассмотрим предел:

 

=.

Но тогда и MK = MN cos α = cos α (x-) при стремится к нулю.

Таким образом, точка М при неограниченно приближается к прямой. Если же, то к прямой неограниченно приближается и другая ветвь гиперболы в третьем квадранте.

Так как гипербола симметрична относительно оси Oy, то этими же свойствами обладает и прямая с уравнением.

 

Определение 3. Две прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, нигде их не пересекая, называются асимптотами гиперболы.

OA1 = a, A1C1 = b,. OC1 = OF1 = C, где с2 = a2 + b2 = OC12 = OF12.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 519; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.