Пусть - множество всех движений плоскости, переводящих фигуру F в себя. Очевидно, если движения f и g принадлежат множеству, то их композиция и движениеg ° f и движение f-1: также принадлежат множеству: g ° f и f-1. Следовательно, множество есть группа, которая является подгруппой группы D всех движений плоскости.
Определение 1: Если группа содержит элементы, отличные от тождественного преобразования е плоскости, то она называется группой симметрий фигуры F, а ее элементы – симметриями фигуры F. Если состоит из одного тождественного преобразования е, то говорят, что фигура F не имеет симметрий.
Примеры:
1)
А
B
F
120°
C
360°
240°
0°
Группа симметрий правильного ∆АВС с центром О состоит из шести элементов (преобразований): трех поворотов е=,, и трех осевых симметрий: =
2)
p
D
А
B
F
C
Группа симметрий равнобедренного треугольника ∆АВС состоит из двух элементов (преобразований): =, тождественного преобразования е и осевой симметрии. p⊥AB, AD=DB.
3) Группа симметрий разностороннего треугольника ∆АВС состоит из одного элемента – тождественного преобразования е. =, поэтому произвольный треугольник не имеет симметрий.
А
a
b
C
F
В
c
4)
D
d
O
p
A
B
N
M
C
Группа симметрий окружности с центром О радиуса r состоит из бесконечного числа элементов. Любое вращение с центром О и любое отражение от прямой, проходящей через точку О является симметрией окружности.
Определение 2: прямая d называется осью симметрии фигуры F, если f, где f – отражение от прямой d. Точка М0 называется центром симметрии фигуры F, если отражение от точки М0 принадлежит группе.
(здесь отражение от прямой – осевая симметрия относительно этой прямой; отражение от точки – центральная симметрия относительно этой точки).
Примеры:
5)
А
M
O
B
C
D
M/
Параллелограмм, отличный от прямоугольника или ромба, имеет один центр симметрии – центр параллелограмма – м не имеет осей симметрии;
6) Прямоугольник или ромб, отличные от квадрата, имеют один центр симметрии и две оси симметрии d1 и d2 – прямые, на которых лежат диагонали ромба или серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника;
А
А
С
В
В
С
D
D
O
O
d1
d2
d1
d2
7) Квадрат имеет один центр симметрии и четыре оси симметрии – прямые d1, d2, АВ, ВD.
А
В
С
D
О
d1
d2
8)
d1
d2
d0
F
K0
K
K/
l
N0
N
N/
M
M/
M0
Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров и осей симметрии. Пусть F – точка между параллельными прямыми d1 и d2, а d0 – прямая, параллельная d1 и d2 и отстоящая от них на равном расстоянии.
Тогда любая точка М0 прямой d0 является центром симметрии фигуры F, а любая прямая l⊥d0, является осью симметрии этой фигуры.
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
