КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формулы подобия
Пусть имеется некоторая гомотетия плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат, обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (х/;у/) – координаты ее образа М/ при гомотетии в этой же системе координат: . Найдем аналитическое выражение гомотетии коэффициенты К задается формулами: … (1) Доказательство. Пусть М, тогда по определению гомотетии имеем: .
, тогда получаем: ⇒ ⇒ (1) Теорема доказана. Следствие: гомотетия с центром в начале координат с коэффициентом К задается формулами: (2) Теорема 2: пусть f – подобие с коэффициентом К, а h – гомотетия с тем же коэффициентом К и центром в произвольной точке М0. Тогда существует одно и только одно движение такое, что: (3) Доказательство. 1) Существование движения. Рассмотрим преобразование плоскости (4) Оно является преобразование подобия с коэффициентом, то есть движением из равенства (4) имеем: . Таким образом, существует движение, удовлетворяющее условию (3). 2) Единственность движения. Пусть теперь –произвольное движение плоскости, такое, что. Учитывая равенство (4), приходим к выводу, что =. Теорема доказана. Теорема 3: в прямоугольной декартовой системе координат подобие с коэффициентом К задается формулами: (5) где в случае подобия 1-го рода, в случае подобия 2-го рода. Доказательство. Пусть f – подобие с коэффициентом К. тогда по теореме 2 имеем:, где h – гомотетия с центром в начале координат О (0;0) и коэффициентом К, а - некоторое движение.
Запишем в системе координат формулы преобразований h и:
, Тогда получаем формулы композиции
или, обозначив координаты точки М(х;y), а ее образа при композиции - подобие с коэффициентом К – через х/ и у/, приходим к формулам (5). Теорема доказана. Теорема 4: любое преобразование подобия, отличная от движения, имеет одну и только одну неподвижную точку. Следствие: любое преобразование подобия, имеющее более одной неподвижной точки или не имеющее ни одной неподвижной точки, является движением. Замечания: 1) Используя теорему 4 и следствие из нее, можно провести классификацию преобразований подобии в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых. При этом прямая называется инвариантной при преобразовании плоскости f, если ее образ при f совпадает с ней; 2) Имеет место обратная теореме 3. Теорема 5: любое преобразование, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (5), является преобразованием подобия.
Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 501; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |