Смешанное произведение векторов

Теорема 6.

Доказательство.

Доказательство следует из определения 1.

Пусть, например,, тогда имеем:

⟹ ⟹.

Замечание. Достаточно запомнить первую формулу, вторая получается из первой, а третья – из второй с помощью круговой или циклической замены векторов

Теорема 7. (О координатах векторного произведения). Если в прямоугольном базисе (ортогональном) (и, то

Доказательство.

Воспользуемся определением координат вектора и теоремами 3, 4, 5 и 6:

(см. определение определителя 3-его порядка)

Теорема доказана.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-1,0,-1), В(0,2,-3), С(4,4,1).

Решение.

,

По следствию из теоремы 1 имеем: (кв.ед.).

Определение 1. Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор.

Обозначение. (

Можно показать, что

Теорема 1. Абсолютная величина (модуль) смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Доказательство.

Введём обозначения:, ∠(

Тогда имеем:

((1)

По теореме 1 из §2 имеем:

(2)

Пусть - высота параллелепипеда (.

Из ∆

Случай 1:

Случай 2:

В обоих случаях получаем:

. (3)

Подставляя значения (2) и (3) в формулу (1), окончательно получаем:

(

Итак,

. (4)

Теорема доказана.

Дата добавления: 2013-12-14