Теорема 3

Теорема 2.

Пример.

Следствие 4.

Следствие 1.

. (5)

Доказательство следствия.

Следствие доказано.

Следствие 2. Знак смешанного произведения тройки некомпланарных векторов соответствует её ориентации, то есть если тройка правая, то, если тройка левая, то

Следствие 3. Три вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство следствия.

Если тройка векторов коллинеарная, то объём параллелепипеда, построенного на векторах этой тройки, равно нулю. Обратно, если V_ПАР = 0, то вектора тройки коллинеарны.

Следствие доказано.

Замечание. Из трёх неколлинеарных векторов, можно составить шесть упорядоченных троек: причём первые три тройки векторов образуют правый базис, а последние три – левый базис (большой, указательный, средний пальцы).

При перестановке любых двух векторов в каждой из первых троек получается копия – либо из трёх последних, поэтому в результате меняется ориентация упорядоченных троек векторов.

Если в упорядоченной тройке векторов осуществить циклическую перестановку векторов, то непосредственной проверкой убедимся, что при этом ориентация упорядоченной тройки векторов не меняется.

Из теоремы 1 следует, что при перестановке векторов в упорядоченной тройке модуль скалярного произведения не меняется, так как во всех случаях он равен объёму одного и того же параллелепипеда. Так же от скалярного произведения зависит ориентации тройки векторов.

(6)

Используя формулу (6), то есть определение 1дано корректно.

Доказательства теорем 2 и 3 следуют из свойств определителя 3-го порядка; мы их опускаем (см. теорему 4).

Теорема 4. Если в ортонормированном базисе

то

(7)

Доказательство.
.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2013-12-14